不等式問題中數形結合思想的妙用

☉江蘇省丹陽高級中學 盛文萍

數形結合是高中數學中重要的思想方法之一，利用數形結合的方法有時可以快速尋找到解題思路，本文就數形結合的方法求解與不等式相關的問題，舉例分析.

一、解一元二次不等式

例1 設a∈R，若x＞0時均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=______________.

解析：本題按照一般思路，則可分為以下兩種情況：

因為受到經驗的影響，會認為本題可能是錯題或者解不出答案.其實在x＞0的整個區間上，我們可以將其分成兩個區間（為什么是兩個？），在各自的區間內恒正或恒負.

我們知道：函數y1=（a-1）x-1，y2=x2-ax-1都過定點P（0，-1）.

二、解含參不等式

例2已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2.若同時滿足條件：

①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；

②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0.則m的取值范圍是______.

解析：畫出函數g（x）的圖像，如圖2.

如滿足條件②，則2m＜-4，解得m＜-2.

綜上，-4＜m＜-2

點評：利用數形結合處理不等式問題，常根據不等式的兩端構造兩個函數，作出這兩個函數的圖像，根據兩個圖像的交點和位置關系，即可獲解.

三、解絕對不等式

點評：在作圖像的時候，要注意圖像的準確性及完備性.

四、解高次不等式

對于一元高次不等式，通常是利用數軸標根法來解決.

例4 解不等式（x2+5x+6）（2x2-x-1）＞0.

解析：原不等式可化為（x+3）（x+2）（2x+1）（x-1）＞0.

五、解抽象不等式

例5若f（x）為奇函數，且在（-∞，0）內是增函數，又f（-2）=0，則xf（x）＜0的解集為（）.

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解析：本題可根據題設條件先作出函數f（x）在（-∞，0）內的大致圖像，由對稱性（奇函數的圖像關于原點對稱）得出f（x）在（0，+∞）上的圖像，從而數形結合、直觀求解.

因f（x）為奇函數，且在（-∞，0）內是增函數，f（-2）=0，

則作出函數f（x）在（-∞，0）及（0，+∞）內的大致圖像如圖5.當-2＜x＜0時，f（x）＞0，xf（x）＜0；當0＜x＜2時，f（x）＜0，xf（x）＜0.

故不等式xf（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2）.故選A.

點評：若函數f（x）是奇函數，則其圖像關于原點對稱.此類抽象函數問題利用對稱性和數形結合，常可迎刃而解.