一道三角函數(shù)題的復(fù)數(shù)解法

☉廣 西 柳 州 高 級(jí) 中 學(xué) 吳佐慧

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 徐李林

☉湖 北 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 系 劉合國(guó)

我們先看下面這道題及其常規(guī)解法.

題目：已知cosA+cosB+cosC=0，sinA+sinB+sinC=0，求證：

解法一：由條件可得cosA+cosB=-cosC，sinA+sinB=-

sinC，則（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=1.+

同理sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

下面運(yùn)用復(fù)數(shù)給出兩種自然簡(jiǎn)單的解法.

解法二：設(shè)z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，z3=cosC+isinC，由條件可得z1+z2+z3=0.

設(shè)在復(fù)平面xOy內(nèi)z1，z2，z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，P，則△MNP是等邊三角形，且點(diǎn)O為其中心.

所以cos3A+cos3B+cos3C=3cos（A+B+C）.

同理sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

解法三：設(shè)z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，z3=cosC+isinC，由條件可得z1+z2+z3=0.

則cos3A+cos3B+cos3C=3cos（A+B+C），sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

復(fù)數(shù)是初等數(shù)學(xué)中代數(shù)、幾何、三角等分科知識(shí)的交匯點(diǎn)，著名數(shù)學(xué)家J.Hadamard有句名言：“實(shí)數(shù)域里兩個(gè)真理之間的最短路程是通過(guò)復(fù)數(shù)域.”巧妙地借用復(fù)數(shù)，可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，很好地解決某些代數(shù)、三角、幾何等問(wèn)題，同時(shí)還可以開闊學(xué)生的眼界，提升學(xué)生的思維能力，這符合新課程改革的教育思想與理念.