妙用數(shù)學(xué)方法巧解數(shù)學(xué)問題

☉江蘇省鹽城市文峰中學(xué) 王 輝

數(shù)學(xué)思想方法蘊涵在數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和運用之中，它是數(shù)學(xué)的精髓.新課程教學(xué)理念一直致力于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，尤其是數(shù)學(xué)思想方法的滲透，在解題教學(xué)中具有重要意義.為此，在解題教學(xué)中，我們要適時地為學(xué)生整理、歸納數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生逐步認(rèn)識其本質(zhì)特征和思維特點，掌握其精髓，這樣就能巧妙解決數(shù)學(xué)問題.

一、運用類比方法妙解函數(shù)問題

筆者認(rèn)為，在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法，特別是運用類比思想方法，在解決函數(shù)問題中，顯得十分重要，尤其是對于復(fù)雜的函數(shù)問題，具有恰到好處的優(yōu)點：一能化復(fù)雜為簡單，提高解題速度；二能培養(yǎng)學(xué)生分析問題潛能.

思路分析：本例并不太難，學(xué)生由已知條件，能很快運用類比思想方法，即采用倒序相加法，進(jìn)行合情猜想，可以巧妙地得出下列解法：

評注：本題是典型的運用類比方法求解的例子.在求解函數(shù)問題時，常常會用到此法，能有效提高解題技巧.特別是對于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，要注意運用數(shù)學(xué)思想方法去分析題意.

二、運用構(gòu)造方法妙解代數(shù)問題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生對于不同的“代數(shù)”問題，采用不同方法或策略，構(gòu)造不同類型的、新的輔助問題，進(jìn)而實現(xiàn)有效地、巧妙地解決代數(shù)問題.

例2 已知對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，且有兩個小于1的正根，求證：a≥5.

思路分析：首先設(shè)二次函數(shù)解析式f（x）=ax2+bx+c（a≠0），之后，再考慮頂點式、零點式、三點式，這樣可將所要求的問題構(gòu)造出新的函數(shù)問題，從而使問題很快解決，具體證法如下：設(shè)二次三項式為f（x）=a（x-x1）（x-x2），a∈N.由題意得0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2.則f（0）＞0，f（1）＞0.又f（x）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2為整系數(shù)二次三項式，故f（0）=ax1x2，f（1）=a·（1-x1）（1-x2）為正整數(shù)，則f（0）≥1，f（1）≥1.

由x1≠x2知，等號不同時成立，

由綜上所述：a2＞16.又a∈N，故a≥5.

評注：本案例采用先構(gòu)造二次函數(shù)之后再構(gòu)造不等式進(jìn)行證明，使得證明過程簡潔.在今后遇到這類問題時，應(yīng)恰當(dāng)構(gòu)建二次函數(shù)的表達(dá)形式，才能有效解決問題.

三、運用數(shù)形結(jié)合妙解三角問題

在解題教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生善于分析問題，如對三角函數(shù)問題，要抓住問題所具有的本質(zhì)特性，強化數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng).當(dāng)然，還要引導(dǎo)學(xué)生運用輔助圖形手段，完成抽象數(shù)與圖形的有效互相轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到化難為易、化抽象為具體的目的.其次，還要指導(dǎo)學(xué)生先作出數(shù)量關(guān)系所對應(yīng)的圖像，之后，再根據(jù)問題分析，才能巧妙地解決三角問題.

思路分析：從已知條件入手，經(jīng)過分析，通過三角函數(shù)化簡，結(jié)合余弦定理以及基本不等式等知識，發(fā)現(xiàn)還不能解決問題，此時，我們就要結(jié)合數(shù)形思想，才能發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，從而巧妙地解決本例，具體解法如下：

（2）由已知b2=ac，

評注：本例是運用數(shù)形結(jié)合的思想來解決三角函數(shù)值域的問題的典型，因此，教師要注意提醒學(xué)生重視，注意培養(yǎng)學(xué)生整合數(shù)學(xué)知識的能力.