高考試題——優質的教學資源

☉浙江省天臺育英中學 潘日升

高考試題是命題組（一般由10多位高中名師和大學老師、命題專家組成）集體智慧的結晶，是經過高考檢驗的優秀的數學教學題材.

2008年重慶理科數學試卷（理）第21題是一道漂亮的試題，筆者曾經把它與“問題探究教學法”進行結合，設計了一堂“高考試題分析課”，現在把它整理出來供同行參考.

課前準備：提前一天把2008年重慶高考數學試卷（理）第22題印發給學生，要求學生課前想一想、做一做.

（Ⅱ）記bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥對n≥2恒成立，求a2的值及數列{bn}的通項公式.

一、新課導入——“對數化”的概念

問題1：同學們還能準確回答“指數式子”和“對數式子”的概念嗎？它們是什么關系？除了一般的應用外誰還能說說有什么特別的應用？

指導性答案：我們知道指數式ax=b（a＞0，a≠1）與對數式logab=x（a＞0，a≠1）是互相等價的，它們對a，b，x這三個數來說是同一關系的.

logaMN=logaM+logaN是對數中一個重要的公式，它具有把“積”的形式轉變為“和”的形式的功能，因此，解題時除了一般計算應用外，還要重視它是數學“轉變”的重要工具.

問題2：大家想一想，在數列中經常有這樣一個“轉變”，你能說出來嗎？

指導性答案：在數列這一章中，我們也學習過一個重要的結論：若正數等比數列{an}，令bn=logcan（c＞0，且c≠1），則數列{bn}就是等差數列.因為，“等差數列”總感覺到要比“等比數列”來得簡單一點，所以，化“等比數列”為“等差數列”是我們常用的思想，是簡化運算的一個好辦法.

問題3：結合大家已經做過重慶理科第22題，猜一猜，我們這一節課的主題應該是什么？

指導性答案：引入課題，我們把上述的方法稱為對“積（冪）的形式”進行“對數化”處理方法，即：對于n個正數a1，a2，…，an，要計算M=a1a2…an的積結果，有的時候很麻煩也很難，此時，我們就可以考慮把它兩邊取對數，變成了logbM=logba1+logba2+…+logban，這樣就把一個積的運算轉化為和的運算，可能會使運算更簡單一點.

二、切題

指導性答案：“歸納、猜想、證明”的方法.這一小題應該是基礎的、送分的題.

指導性答案：應該從條件“記bn=a1a2……an（n∈N*），若bn≥對n≥2恒成立”去求得.而且，題意也明確要求a2的大小，一旦a2求得，從理論上來說an就可以求得，那么bn自然可以求得了.

問題6：大家對解決第（Ⅱ）小題都是有困難嗎？你再看看、再體會條件“記bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥對n≥2恒成立”中關鍵字是什么？最困難的是什么？

指導性答案：關鍵字是“bn≥2對n≥2恒成立”中“恒成立”，即永遠成立，這個可要理解到位.

最困難是由于bn=a1a2…an（n∈N*），bn是關于a1，…，an的積的形式，這樣，很難把bn與條件“bn≥對n≥2恒成立”聯系起來.

問題7：想想我們應該怎么辦？

指導性答案：這里就步入我們這一節課的主題了.考慮到把bn進行對數化處理，令xn=log2an，記Sn表示xn的前n項的和，則bn=2Sn，條件“bn≥2對n≥2恒成立”轉化為“S對n≥2恒成立”；條件“a

問題8：我們為什么取以2為底的對數？現在的條件明朗了，后面怎么辦？

指導性答案：由于不等式“bn≥2”中右邊的冪是以2為底.

此時，如果把a2即x2=log2a2看成已知的一個數，那么條件就很明朗了.

問題9：后面就是如何突破這個“恒成立”的條件了，也是涉及到不等式等綜合知識了，我們一起來想想辦法.

問題10：總算解決完整了！你有什么體會？，

指導性答案：作為壓軸題，總是有一定難度的，涉及到方方面面知識，也不是一般的同學能達到的，需要堅實的數學基礎和較強的數學能力.對“積（冪）的形式”進行“對數化”處理方法在平時雖有應用，卻不深刻，想不到高考中還是大有用武之地.

三、總結與鞏固

問題11：請大家舉一個例子：解題時含有對“積（冪）的形式”進行“對數化”處理方法.

指導性答案：在遞推條件下求數列通項公式的方法中有一種方法就是“對數變換法”.

例已知數列{an}各項都是正數，且滿足：a1=2，an+1=2an2（n∈N*），求數列{an}的通項公式.

解：由an+1=2an2（n∈N*）得，lgan+1=lg2+2lgan，把lgan看成項，則數列{lgan}就是“an+1=Aan+D”型數列，所以有lgan+1+lg2=2（lgan+lg2），因此，有lgan+lg2=2n-1（lgan+lg2）=2nlg2，即an=2（2n-1）.

評注：對于遞推公式形如an+1=pan2（其中p＞0且a1＞0）或an+1-an=f（n）（其中f（n）＞0且a1＞0）的數列通項公式的求法，通?？梢钥紤]將其兩邊取對數式，得到lgan+1=lgp+mlgan或lgan+1=-lgan+lgf（n），則數列{lgan}符合“an+1=Aan+D”型數列形式，從而求解.

問題12：為了鞏固今天學習的效果，老師提供了下面一道高考試題，請大家在課外用今天所學習的方法來解決第1、2兩個問題.

（2012年浙江理第22題）已知a＞0，b∈R，函數f（x）=4ax3-2bxa+b.

（Ⅱ）若-1≤f（x）≤1對x∈0，［］1恒成立，求a+b的取值范圍.

答案：-1≤a+b≤3.結束本課程.

根據筆者的經驗，在高三各輪的教學復習中，經常性地對高考試題從各個角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考試題的命題風格、命題熱點、命題形式，有利于考生適應高考情景，提高高考復習的針對性.