運(yùn)用特殊化與一般化探究一道高考題

☉江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) 金小進(jìn)

一、探究的起因

（1）略.

（2）若|OG|2=|OD|·|OE|，①求證：直線l過定點(diǎn)；②略.

簡(jiǎn)析：不難計(jì)算，不論斜率k為何值，直線l恒過定點(diǎn)（-1，0），現(xiàn)改變直線x=-3或橢圓方程，直線l是否還過定點(diǎn)？如果是，所過定點(diǎn)與直線x=-3和橢圓方程有何關(guān)聯(lián)？帶著這個(gè)疑問，我們進(jìn)行以下探索.

二、特殊化歸納

題中要求直線l的斜率k＞0，事實(shí)上，如果把該條件放寬，考慮特殊情況：直線l垂直于x軸.這即定點(diǎn)，正好也符合原題的結(jié)論.如果橢圓方程為=1，直線方程為x=m，那么D（m，0），G（a，0），E），又考慮到直線方程x=m與點(diǎn)E）的內(nèi)在聯(lián)系，于是把直線方程處理為，則其對(duì)應(yīng)點(diǎn)E（m，0），這樣就對(duì)應(yīng)著橢圓a=1的“類準(zhǔn)線”與“類焦點(diǎn)”的問題，于是我們大膽猜想：

三、一般化探索

證明：設(shè)E（p，q），

①充分性：因直線l過F（m，n），

故q=n.

②必要性：由|OG|2=|OD|·|OE|，

故q=±n.

因OE為 射線，所以yE與yD的符號(hào)相同.

q與n同號(hào)，q=n，所以直線l過F（m，n）.

另設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

①充分性：因直線l過點(diǎn)F（m，n），

又因E、G、D三點(diǎn)共線，所以|OD|·|OE|=|OG|2.

由OE為射線可知xD與xE同號(hào)，

故直線l過極點(diǎn)F.

至此，運(yùn)用特殊化的手段，發(fā)現(xiàn)了高考題的背景：類準(zhǔn)線與類焦點(diǎn)；通過一般化的手段得到更深層次的背景：極線與極點(diǎn).進(jìn)一步地，還可以推廣到雙曲線與拋物線中去.

結(jié)論4 拋物線C：y2=2px，極點(diǎn)F（m，n）對(duì)應(yīng)著極線：nyp（x+m）=0，不過原點(diǎn)的直線l交拋物線C與A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為E，射線OE交拋物線C于G點(diǎn)，交極線ny－p（x+m）=0于D點(diǎn)，則|OG|2=|OD|·|OE|的充要條件是直線l過極點(diǎn)F.

四、再特殊化分析

結(jié)論7 拋物線C：y2=2px，其極點(diǎn)F（m，n）對(duì)應(yīng)著的極線l1：ny－p（x+m）=0，不過原點(diǎn)的直線l交拋物線C與A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為極點(diǎn)F，射線OF交拋物線C于G點(diǎn)，點(diǎn)G處的切線為l2，則l∥l1∥l2.

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾說，復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而又不失重要性的地方，是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.運(yùn)用特殊化找出結(jié)論成立的簡(jiǎn)單情形正是華先生所講的“退”，由此獲得的啟示又將為探究問題的一般性提供某種對(duì)比，從而就有可能運(yùn)用一般化的手段發(fā)現(xiàn)問題的背景，揭示問題的本質(zhì).