利用“加權(quán)的琴生不等式”簡(jiǎn)證2012年湖北高考理科壓軸題

☉湖北省黃石市第一中學(xué) 楊瑞強(qiáng)

隨著新課程的不斷深入推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)課程引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)與微積分，選修了《不等式選講》，參與高考命題的專家越來(lái)越重視初、高等數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接.近幾年來(lái)，以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的函數(shù)與不等式綜合題在高考中頻繁出現(xiàn)，并且常常充當(dāng)壓軸題的角色，成為高考數(shù)學(xué)的一道亮麗的風(fēng)景線.事實(shí)上，許多高等數(shù)學(xué)背景下的高考試題，利用初等數(shù)學(xué)知識(shí)解答較為煩瑣，且學(xué)生在短暫的時(shí)間內(nèi)難以解決，如果我們巧用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，可以使問(wèn)題的解答得以簡(jiǎn)化.下面以與高等數(shù)學(xué)中的一類凸函數(shù)有著密切關(guān)系的琴生（Jensen）不等式為例，在高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下研究2012年湖北高考數(shù)學(xué)壓軸題的解法.

高等數(shù)學(xué)背景：

題目：2012年湖北高考理科壓軸題（第22題）：

（I）已知函數(shù)f（x）=rx－xr+（1－r）（x＞0），其中r為有理數(shù)，且0＜r＜1.求f（x）的最小值.

（II）試用（I）的結(jié)果證明如下命題：

（III）請(qǐng)將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.

注：當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式（xα）′=αxα－1.

題目分析：

事實(shí)上，如果題目的第（II）問(wèn)沒(méi)有限定利用（I）的結(jié)果證明，第（III）問(wèn)沒(méi)有限定利用數(shù)學(xué)歸納法證明，那么我們還可以利用高等數(shù)學(xué)背景下的加權(quán)的琴生不等式加以簡(jiǎn)證.下面僅以第（III）問(wèn)的簡(jiǎn)證為例加以說(shuō)明.

試題簡(jiǎn)證：

解法評(píng)析：利用高等數(shù)學(xué)背景下的加權(quán)的琴生不等式簡(jiǎn)證此題，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是前提，求二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凸性是手段，應(yīng)用加權(quán)的琴生不等式是關(guān)鍵.