落霞與孤鶩齊飛 秋水共長天一色——2012年浙江高考解析幾何試題的本原探討

☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 蘇立標(biāo)

一、問題的呈現(xiàn)

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求△APB的面積取最大值時直線l的方程.

左焦點（-c，0）到點P（2，1）的距離為

由①、②可解得a2=4，b2=3，c2=1.

因A，B在橢圓上，

點評：利用最樸素的材料，采取最一般的方法，得出最簡單的結(jié)論，這是最近幾年高考解析幾何常見的命題思路，該試題是一道圓錐曲線問題的綜合試題，既不回避考查圓錐曲線基本解題方法——“設(shè)而不求”，同樣也不忌諱解析幾何承載著對學(xué)生運算能力考查的特殊要求，是較為成功的高考試題.

二、問題本原探究

對于一個數(shù)學(xué)問題，我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生去探究方法的巧思妙解，更要引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注問題的本質(zhì)，探討問題本身所蘊含的數(shù)學(xué)實質(zhì)，讓題目會“說話”（杭州市教研室李學(xué)軍語）.（文中所涉及的字母e均為橢圓的離心率）

把①②③代入④得k1·k2=e2-1.

三、問題變式探究

對于一個問題不僅要剖析本質(zhì)，還要引導(dǎo)學(xué)生不斷地探究問題的知識結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性，對問題蘊含的知識進行縱向深入地引申探究，加強知識間的橫向聯(lián)系，把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統(tǒng)的知識“面”.通過不斷拓展、聯(lián)系，加強對知識結(jié)構(gòu)的理解，進而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的系統(tǒng)性.在解析幾何中與e2-1有關(guān)的定值問題是非?；钴S的，所以我們有必要從正向與逆向等多個方面加以引申拓展.

1.正向引申探究

2.逆向拓展探究

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），

即k1為過點P的橢圓切線的斜率，故直線l為橢圓的切線.

3.試題鏈接探究

（Ⅱ）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點Q，使得直線QA、QB的傾斜角互為補角？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：該試題同樣揭示的是以e2-1為定值的圓錐曲線問題：橢圓上的任意一點P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為k1·k2=e2-1.

例題課堂教學(xué)中不斷挖掘、變換角度，盡量發(fā)揮試題的輻射作用，是激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種重要途徑.對試題進行開發(fā)和加工，捕捉和拓展，以期構(gòu)建動態(tài)生成，繼而挖掘其潛在的智能訓(xùn)練因素：或啟迪思路，提煉方法；或引申問題，豐富內(nèi)涵；或串聯(lián)知識，擴大成果；或鼓勵創(chuàng)新，提升智慧，從而彰顯豐盈我們的數(shù)學(xué)課堂.

1.蘇立標(biāo).探求以e2－1為定值的圓錐曲線問題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006（5）.

2.玲瓏居士.一道高考解幾題的探究背景.中學(xué)數(shù)學(xué)，2004（9）.