如何處理立體幾何中空間圖形的翻折問題

☉江蘇省姜堰中學 宋元海

立體幾何是每年高考的必考內容之一，在高考中占有重要的地位.只要對近幾年高考試題稍作分析我們就不難看出高考對立體幾何考查的重點與難點相對比較穩定.立體幾何綜合問題中的將平面圖形折疊成空間幾何體的問題也是高考試題中經常出現的一種題型.筆者結合對幾道例題的解析來簡要闡述此類問題的解決方法.

對于翻折問題一定要理清翻折前后的不變關系和不變量.通常在折痕的同側的位置關系和線的長度、角度的大小不變，但是在折痕兩側的線的長度、角度以及位置關系都有變化，這一點是處理翻折問題的關鍵之處.

【典型例題】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=4，CD=3，E為AB中點，過E作EF⊥CD，垂足為F（如圖1），將此梯形沿EF折起，使得平面ADFE垂直于平面FCBE（如圖2）.（2011年蘇北四市模擬）

（1）求證：BF∥面ACD；

（2）求多面體ADFCBE的體積.

【解析】（1）證明：因直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=4，CD=3，E為AB中點，EF⊥CD，垂足為F，則BCFE為正方形.

設BF和CE的交點為O，則O是正方形BCFE的中心.

因平面ADFE垂直于平面FEBC，則AE和DF都垂直于平面FEBC.

取AC的中點H，則由三角形的中位線性質，可得OH平行且等于AE的一半，OH平行且等于DF，則四邊形OHDF為矩形.

則OF平行于DH.

由DH?平面ACD，OF不在平面ACD內，得OF∥面ACD，BF∥面ACD.

（2）把多面體ADFCBE分成兩個棱錐：三棱錐A-BCE和四棱錐C-AEFD.

由題意可得CF⊥平面AEFD，AE⊥平面BCFE.

點評：本題主要是通過平面圖形翻折問題處理空間線-線關系和線-面關系即直線和平面平行的判定定理的應用，從識圖、想圖、畫圖的過程的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層次上考查空間想象能力的主要方向.

【原題拓展】（2010年鹽城市）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.

（1）求證：BC⊥平面CDE；

（2）求證：FG∥平面BCD；

（3）在線段AE上找一點R，使得面BDR⊥面DCB，并說明理由.

【解析】（1）如圖所示：由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC，

則DE⊥面ABCE，DE⊥BC.

又BC⊥CE，則BC⊥面CDE.

（2）取AB中點H，連接GH，FH.

則GH∥BD，FH∥BC，則GH∥面BCD，FH∥面BCD.

則面FHG∥面BCD，則GF∥面BCD.

（3）分析可知，R點滿足3AR=RE時，面BDR⊥面BDC.

理由如下：取BD中點Q，連接DR、BR、CR、CQ、RQ.

又在△CBD中，CD=CB，Q為BD中點，則CQ⊥BD，則CQ⊥平面BDR，則面BDR⊥面BDC.

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面之間平行及垂直的判定定理、性質定理、定義、幾何特征是解答此類問題的關鍵.在解決本題過程中要注意平面圖形在翻折的前后同側和兩側點、角度、線等之間關系是否發生改變；解題過程中要充分挖掘和利用這些不變關系和不變量；同樣這也是解決平面圖形翻折問題的關鍵之處.

總而言之，解決有關空間圖形的翻折問題時，要注意對翻折前后線線、線面位置關系、所成角度及距離加以比較，要靈活運用其中的不變關系和不變量（主要是平行、垂直關系和角度的大小、線段的長度等）.對于不變量的計算和證明可結合原圖型來計算和求證；對于變化了的量應在翻折后的立體圖形中來求解.對某些翻折后不易看清的關系和量，可結合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉化為平面問題進行處理.由此可見，將平面圖形翻折成空間圖形，既是實際應用問題的需要，又具有考查學生空間想象能力、邏輯推理、數學實踐、綜合分析問題能力的功能，這就要求我們高中數學教師在平時的課堂教學中注重這些能力的培養，以便實現課堂教學效果的最大化.