通性通法,一招制勝的法寶：由“ 怎樣做到分類不重不漏”引發(fā)的思考

☉江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)文昌校區(qū) 於有海

一、規(guī)律探索

1.問(wèn)題給出

《中學(xué)生數(shù)學(xué)》（2010年1月上）（高中）中“怎樣做到分類不重不漏”［1］一文，運(yùn)用多重分類的方法處理2007年高考廣東卷一題.

例1 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

有興趣的讀者可參閱原文.

筆者認(rèn)為多級(jí)分類討論對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)要做到分類不重不漏并非易事，我們不妨翻閱各地高考試卷，凡涉及多重分類討論的大都是一些壓軸題，而此題不一定有此難度.當(dāng)然，解決此題的方法一定也很多，下面筆者談?wù)剛€(gè)人對(duì)此題乃至一類問(wèn)題的一點(diǎn)淺見(jiàn).

2.問(wèn)題分析

函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)

?方程2ax2+2x-3-a=0在區(qū)間［-1，1］上有實(shí)數(shù)解

3.問(wèn)題簡(jiǎn)解

解：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)，等價(jià)于方程2ax2+2x-3-a=0在區(qū)間［-1，1］上有實(shí)數(shù)解，即方程（2x2-1）a=3-2x（*）在區(qū)間［-1，1］上有實(shí)數(shù)解.

如圖1.

二、殊途同歸

1.方法提煉

例1實(shí)質(zhì)是“方程有解”問(wèn)題.命題結(jié)構(gòu)：?x∈［a，b］ ，使得方程（fx）=m成立.

如圖2所示，如果命題成立（方程有解），那么m應(yīng)該在兩條直線（包括直線）之間的區(qū)域內(nèi)變化，而此區(qū)域正是函數(shù)y=f（x）的值域，由此可歸納出這類問(wèn)題的處理流程：

方程有解?求函數(shù)值域?找函數(shù)?變量分離

（變量分離這步需要根據(jù)具體題目考慮使用與否，下面不再說(shuō)明）

2.姊妹命題

“方程有解”問(wèn)題我們不妨先到此，下面來(lái)看看“方程無(wú)解”、“不等式恒成立”、“不等式能成立”與“方程有解”問(wèn)題的區(qū)別和聯(lián)系.

（1）“方程無(wú)解”問(wèn)題

命題結(jié)構(gòu)：?x∈［a，b］，都有方程f（x）=m不成立.

如圖3所示，如果命題成立（方程無(wú)解），那么m應(yīng)該在兩條直線（不包括直線）之外的區(qū)域內(nèi)變化，而此區(qū)域正是函數(shù)y=f（x）的值域的補(bǔ)集，由此可歸納出這類問(wèn)題的處理流程：

方程無(wú)解?求函數(shù)值域的補(bǔ)集?找函數(shù)?變量分離

（2）“不等式恒成立”問(wèn)題

命題結(jié)構(gòu)：?x∈［a，b］，都有不等式f（x）＞m成立.

如圖4所示，如果命題成立（不等式恒成立），那么m應(yīng)該在直線（不包括直線）以下的區(qū)域內(nèi)變化，所以只要解出函數(shù)y=f（x）的最小值，使這個(gè)最小值大于m即可，由此可歸納出這類問(wèn)題的處理流程：

不等式恒成立?求函數(shù)最值?找函數(shù)?變量分離

（3）“不等式能成立”問(wèn)題

命題結(jié)構(gòu)：?x∈［a，b］，使得不等式f（x）≤m成立（即不等式有解）.

如圖5所示，如果命題成立（不等式能成立），那么m應(yīng)該在直線（包括直線）以上的區(qū)域內(nèi)變化，所以只要解出函數(shù)y=f（x）的最小值，使這個(gè)最小值小于或等于m即可，由此可歸納出這類問(wèn)題的處理流程：

不等式能成立?求函數(shù)最值?找函數(shù)?變量分離

3.形異質(zhì)同

到這里，讀者應(yīng)該能夠看出方程有解（無(wú)解），不等式恒成立（能成立），這兩類看上去毫不相關(guān)的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)上卻是相同的——都是求函數(shù)的值域或最值.因此我們可給出統(tǒng)一的處理流程：

方程有（無(wú)）解，不等式恒（能）成立?求函數(shù)值域或最值?找函數(shù)?變量分離

三、規(guī)律運(yùn)用

例2 （2010年天津卷第16題）

本題從表面上看，題目中的式子結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，但本質(zhì)上就是不等式恒成立問(wèn)題，因此由規(guī)律知只要求出函數(shù)最值就可以解出答案.這樣，了解這類問(wèn)題的本質(zhì)不僅為我們節(jié)省了審題的時(shí)間，更為我們考試信心的提升帶來(lái)了不可估量的作用.

四、教學(xué)反思

1.重視通性通法的教學(xué)

不管是方程有解（無(wú)解）問(wèn)題，還是不等式恒成立（能成立）問(wèn)題，都可以歸結(jié)到函數(shù)的值域與最值問(wèn)題范疇——通性，解決這類問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)的值域或最值——通法.

通性通法的熟練掌握，有利于學(xué)生利用這種通法而“一招制勝”.例2的選擇主要目的在于讓學(xué)生通過(guò)比較，近一步感受通性通法的優(yōu)點(diǎn)，從而達(dá)到多題一解、一招制勝的效果.當(dāng)然，例題也還有其他的解法（本文在此不作說(shuō)明），筆者認(rèn)為，通性通法是解決這類問(wèn)題的正餐，利用性質(zhì)等巧法則是配菜.

2.重視幾何圖形的輔助解析

華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”，從幾何直觀上分析問(wèn)題與用代數(shù)方法解幾何問(wèn)題同樣重要，而在面對(duì)抽象、難于理解或從數(shù)的角度去解決問(wèn)題出現(xiàn)繁雜，導(dǎo)致解題效率低下甚至失敗時(shí)，不妨換個(gè)方式——用幾何圖形——來(lái)進(jìn)行嘗試，這樣可能會(huì)挖出題中一些隱含的幾何條件，從而幫助理解，甚至解決問(wèn)題.這正如美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩所說(shuō)：如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.

3.重視常見(jiàn)函數(shù)的值域與最值的教學(xué)

（1）常見(jiàn)函數(shù)

（2）求函數(shù)值域與最值的方法

函數(shù)的值域與最值的求法，一直以來(lái)都是探究的熱點(diǎn)，其中不乏優(yōu)美的解法，但是這些解法往往伴有一些特殊的要求，正是這些“要求”導(dǎo)致學(xué)生“一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)”.筆者認(rèn)為過(guò)分的發(fā)散而不及時(shí)總結(jié)則為無(wú)用功.

其實(shí)前一節(jié)所列出的常見(jiàn)函數(shù)，在求它們的值域與最值時(shí)都有固定的方法，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可用單調(diào)性；二次函數(shù)可判斷對(duì)稱軸與定義域之間的關(guān)系；正弦函數(shù)、余弦函數(shù)可畫圖像.當(dāng)遇到有幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)組合而成的函數(shù)時(shí)可考慮使用不等式或?qū)?shù)，即：把握一種方法，巧用兩個(gè)工具.

總之，對(duì)于《課標(biāo)》中要求不明確之處，應(yīng)本著“簡(jiǎn)單”、“易知”的原則去把握.這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)做到有的放矢，把該講的內(nèi)容講透，不易過(guò)分拔高或降低要求，學(xué)生能夠掌握常見(jiàn)函數(shù)的值域或最值的基本解法即可.

1.陳大康.怎樣做到分類不重不漏［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2010（1上）.

2.王忠.2009年江蘇卷解析幾何題解題分析與教學(xué)反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（10）.

3.江蘇省教育科學(xué)研究院課程教材研究中心，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室.江蘇省普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求［M］.南京：江蘇教育出版社，2007.