淺談高考中的二項式定理通項公式

☉江蘇省海安高級中學 季林波

二項式定理在各省市歷年高考命題中基本上都有一道選擇或填空題，解題的關鍵是掌握二項展開式的通項公式.現對二項式定理的通項公式進行歸納，希望能夠起到拋磚引玉的作用，以便于大家能熟練應用二項展開式的通項公式解題.

一、求二項展開式中特定的項（或系數）

分析：本題主要運用待定系數法求二項式中的指定項，然后根據所得的項得到對應項的系數，即先設第r+1項為所求項，然后根據通項公式表示出該項，再利用條件求出r，進而找出該項（或該項的系數）.

小結：縱觀近幾年高考試題，對于二項展開式問題的考查，題型難度不大，要得到這部分分值，首先需要熟練掌握二項展開式的通項公式，其次需要強化差生的計算能力.

練習：（2012年高考四川文）（1+x）7的展開式中x2的系數是（ ）.

A.21 B.28 C.35 D.42

二、利用“賦值法”求部分項系數，二項式系數和

分析：在求展開式中的各系數之和及組合數之和問題時，一種非常有效的方法就是取特殊值，所以由二項展開式求某些二項式系數的和時，要注意觀察二項式中的變量取哪個（或哪些特殊值），方可得到所需二項式系數的和.

小結：賦值法是解決二項展開式的系數和的有效方法，通過對二項展開式中的字母或代數式賦予允許值，以達到解題目的.

練習：（2012年高考上海春）若（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+a2+a3+a4+a5=_______.

答案：1

解析：本題較為簡單，我們可以采用“賦值法”，令已知式子中的自變量x的值為1，即可得到答案為1.

三、求二項式中的參數的值（或范圍）

例3 （2012年高考陜西理）（a+x）5的展開式中x2的系數為10，則實數a的值為__________.

分析：本題是已知二項式中某一項的系數，求解式子中的參數a，解答本題首先要寫出通項公式，然后根據通項公式找出x2項的系數等于數字10，繼而可以解出參數的值.

解析：（a+x）5的展開式中第k+1項為Tk+1=Ck5a5-kxk，令k=2，x2的系數為C25a3=10，解得a=1.

小結：已知二項式定理展開式中的某一項或指定項的系數，然后求解二項式中的某一個參數的問題，實際上就是對二項展開式的通項公式的考查，此類問題是高考考查的重點.

四、求兩個（或多個）二項式的積的展開式特定項（或系數）

例4（2012年高考浙江理）若將函數f（x）=x5表示為：f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則a3=_________.

分析：本題可以采用二項式定理展開式兩邊對應項系數相等來解決.等式左邊僅有五次方項，所以可以首先找出等式右邊的這一項（其余的次數的項系數都為零），兩者相等從而可以得到答案.

解析：（法一）由等式兩邊對應項系數相等得：

（法二）對等式：f（x）=x5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，兩邊連續對x求導三次得：60x2=6a3+24a4（1+x）+60a5（1+x）2，再運用賦值法，令x=-1得：60=6a3，即a3=10.

小結：求二項展開式中某一特定項的系數，我們常用通項公式法，待定系數法、對應項系數相等來加以解決，不過在解決此類問題時注意不要遺漏情況，考慮問題一定要全面.

練習：（2012年精選模擬）在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展開式中，含x3的項的系數是（ ）.

A.74 B.121 C.-74 D.-121

本文利用今年的高考試題對有關二項式定理通項公式的問題進行了總結，旨在強化同學們解決此類問題的方向性，避免盲目性，從而提高解題能力.