點到直線距離公式的解題功效

☉湖南省長沙市稻田中學 莫 俐

一、尋找最近

解析：畫出可行域，如圖1所示.依題意知在陰影區域內找一點，使其到原點的距離最小.最小距離即為原點到直線x-y+1=0的距離，進而可確定所求點的坐標.

二、求參數的值

主要是指已知點到直線的距離，求點坐標中的參數或直線方程中的參數，解題的關鍵是合理運用距離公式.

例2 直線y=kx+3與圓（x-3）2+（y-2）2=4相交于A，B兩點，若，則實數k的值是______.

解析：如圖2，由已知得圓心的坐標為O（3，2），半徑為2，即OB=2.過點O作OD⊥AB于點D.由點到直線的距離公式，可得OD=，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可求得k的值.

三、求三角形的高

例3 已知點A（0，2），B（2，0）.若點C在函數y=x2的圖像上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數為（ ）.

A.4 B.3 C.2 D.1

答案：

四、判斷直線與圓的位置關系

答案：相切

五、求軌跡方程

例5 求兩條直線l1：3x+4y+1＝0，l2：5x+12y-1＝0的交角平分線方程.

解析：由角平分線上的點到兩邊的距離相等的性質，同樣可轉化為點到直線距離來解決.

設P（x，y）是交角平分線上任一點，則P到l1，l2的距離相等，即

整理，得所求的方程為7x-4y+9＝0或8x+14y-1=0.

六、求直線方程

解析：過兩直線的交點的直線，可用直線系方程來設.

設這條直線方程為（7x+7y-24）+λ（x-y）=0，即

（7+λ）x+（7-λ）y-24=0.

所求的直線方程是4x+3y-12=0或3x+4y-12=0.