排列問題的“一字訣”

☉浙江省東陽中學 陳立明

排列問題的類型多樣、背景豐富、解法靈活多變，是每年高考必考知識點之一.仔細審題，根據已知條件選擇恰當的解題技巧與方法是成功解題的關鍵.下面介紹幾種常用的解題技巧與方法.

一、捆

是指把一些要求相鄰的元素（或位置）看成一個整體考慮的方法.也可以歸納為口訣：相鄰問題“捆綁法”.

例1 3對夫妻排成一列.

（1）甲、乙兄弟2人要求必須排在一起；

（2）3對夫妻都不能分開；

（3）甲、乙兩人之間必須間隔1個人.

二、插

是指讓其他元素（位置）先排列，然后把需要特殊考慮的元素（位置）插入已排好的元素之間的方法.往往用來解決不相鄰問題，歸納為口訣：不相鄰問題“插空法”.

例2 記者要為5名志愿者和2位老人照相.

（1）甲、乙兩人要分開，有多少種？

（2）要求老人不相鄰且不坐兩端，則不同的排法有多少種？

不相鄰問題中有一種特殊問題：相間問題.這類問題的解決與插空法有一定的聯系與區別.

例3 （1）4名男生，3名女生，要求男生、女生都互不相鄰，問：有幾種排法？

（2）3名男生，3名女生，要求男生、女生都互不相鄰，問：有幾種排法？

三、除

是指部分元素（位置）的順序有特殊要求，我們先不做考慮，全排列好后除去這部分元素的所有的排列數的辦法.口訣可以歸納為：定序問題用“除法”.

例4A、B、C、D、E五人按先后順序上車.

（1）若B必須在A前（A、B可以相鄰），則不同的排法的種數是多少？

（2）若A、C、E三人已經約定了上車先后次序（三人不一定相鄰），則有多少種排法？

（3）若A、B相鄰且B必須在A前，則不同的排法的種數是多少？

四、減

是指一些要求滿足的情況比較復雜，我們把所有不滿足條件的排列減去.可以歸納為口訣：正難則反，減去不滿足，它是間接法的一種.

例5 一個班級某天要排不同的6門課.

（1）語文老師不喜歡第6節，問：有幾種排課方法？

（2）若體育不排第1節，數學不排最后一節，問：有幾種排課方法？

五、分

是指比較多的要求要同時滿足，為了理清所有要求，我們有針對性地進行分類討論的方法.口訣是這樣的：討論可把亂理清.

例6 用0、1、2、3、4、5這6個數字組成無重復數字.

（1）有多少個三位偶數？

（2）有多少個能被3整除的四位數？

（2）被3整除的三位數的特征是個位、十位、百位、千位的數字之和是3的倍數.可是三個數之和是3的倍數的比較多，通過分類理清思路.

第二類，被3整除的數取1個，這樣剩余三個數之和肯定不能被3整除，不存在.

所以總共有96個能被3整除的四位數.

六、隔

是指把所要分配的名額等分隔成若干段，然后每人拿走屬于自己的名額的方法.也可以歸納為口訣：名額分配“隔板法”.這種方法應用范圍特定，特征明顯.

例7 學校決定把12個參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個班級.

（1）要求每個班級至少有1個名額，問：有幾種分配方案？

（2）要求每個班分得的名額不比班級序號少：即二（1）班至少1個名額，二（2）班至少2個名額，……，問：有幾種分配方案？

（2）先給二（2）、二（3）、二（4）班各1、2、3個名額，在把剩余的6個名額分配給4個班級，每個班級至少1個，從而把問題變成了隔板模型：6個名額之間形成5個間隙，在5個間隙中任意插入3塊隔板，把名額分給4個班級.共=10（種）.