有感于“數學模型的生態建構”——直線和圓的位置關系

☉江蘇省新沂市第一中學 杜繼渠

一節好課需要一個好的開頭，同樣，一章教學，也需要好的概念起始.新概念建構的成效將直接影響這一整章的教學效益，一點都不亞于一節課的開頭對一節課的影響.建構新的數學模型，是同化還是順應，并不重要，重要的是，引導學生感受建構的過程，體驗新舊知識的內在聯系，在知識的生長點上催生新知，視野開闊了，認知層次自然提升.

研究直線與圓的位置關系，就是打“直線和圓錐曲線位置關系”的“先鋒”.本節課除了要解決“直線和圓的位置關系”外，還擔負著形成解析幾何的思想方法的重任.因此，深刻地領會“二元二次方程組”這一數學模型的核心價值，意義非凡.

有人說，利用方程組解決“直線與圓的位置關系”是高射炮打蚊子，不值.表面上看似有嫌疑，區區“直線與圓”，何須動用“二元二次方程組”？但細品教材，就會感受知識發生的必然性，邏輯關系的合理性，教材整體的一致性，這是超越技巧的思想方法的有機滲透，也正是解析幾何的精髓所在.

問題的本原是思維的起點，創設問題情境，從概念的本原尋找學生認知的生長點，把這節課定位在認知視覺的調整和思維層次的提升，是前瞻務實的.在這一節課的教學中，筆者從生活經驗入手，創設了一個學生喜聞樂見的情境，收到不錯的教學效果.

多媒體展示：一塊石頭，在攝影師眼中可能是______

一塊石頭，在科學家眼中可能是______

一塊石頭，在狙擊手眼中可能是______

評價：這一下，學生的思維火花被點燃起來，他們的思緒盡情地馳騁，似脫韁的野馬，對于這樣開放的問題，無論怎樣回答都不過分，誰會在意標準答案呢？隨著學生思維的翅膀，教師也一起飛翔在想象的天空，和諧的氛圍創造出來了.

學生思維盡管很發散，但形散而神不散，一個中心思想：同一事物，在不同的視角下，有不同的風景.

接下來的活動過程：

一石激起千層浪.

生（眾）：是方程組，是二元一次方程組，是二元二次方程組，……，是直線方程和圓的方程所組成的方程組，…….

師：一個是直線的數學模型，一個是圓的數學模型，合起來是……

生1：是刻畫直線和圓的位置關系的數學模型.

學生鼓掌！

評價：創設情境的目的是什么？引起學生思考，盡快進入角色.元認知提問的目的是什么？引導學生提出問題，激發學生討論.這兩點都處理得很好，達到了生態課堂的基本要求.

師：由直線方程和圓的方程所組成的方程組的確是刻畫直線和圓位置關系的數學模型，生1回答是完全正確.那么，大家想一想，方程組的解的個數又與什么有關呢？

學生獨立思考.

生2：既然它是數學模型，相信方程組解的個數和直線與圓的公共點是一一對應著的，這很自然地讓我們想到直線和圓的位置關系問題.

師：說得好！誰還有別想法？

生3：直線和圓的位置關系不是靠“圓心到直線的距離”和“圓的半徑”的關系來判定的嗎？

師：能夠說得具體些嗎？

生3：當d＞r時，直線和圓是相離的；當d=r時，直線和圓是相切的；當d＜r時，直線和圓是相交的.

教師跟著板書，然后豎起了拇指！

師：一種非常形象直觀的幾何法，它曾是我們的最愛！那我們今天要學的是……？

學生沉思.

生4：解析幾何是用代數的方法解決幾何問題的，老師想說用另外一種途徑來研究.

師：你最——懂——我——的——心——！

學生笑了！

評價：教師把機會留給學生，引導學生把要學的東西說出來，體現了師生心理共鳴，體現了自主學習的宗旨.教師主導，學生主體的地位得到充分體現.

當學生已經意識到本節課的主旨后，教師趁熱打鐵拋出問題：判斷直線l：3x+y-6=0和圓C：x2+y2-2y-4=0的位置關系.

學生隨即熱烈討論.教師巡視，并參與小組探究，這時候，有的學生去找合作伙伴，有的請“外援”，好不熱鬧！一會兒，大部分小組達成共識，教師宣布停下，驗收各小組成果，推舉代表發言.

生5：我們小組分別運用幾何法與代數法作了判定，結果是一樣的，相交.

師：其他小組呢？

生：是.

師：就沒有比較一下優劣？

另一小組代表發言.

生6：兩種方法差不多.就是在運用幾何法時，首先想畫草圖，其次要寫準圓心坐標和半徑，以防止代錯了值；在運用代數法時，采用代入消元法，化出個一元二次方程，然后求出判別式，運算時要特別小心.

師：說得非常好！

接著展示了多媒體內容，與學生一起分析了問題解決的關鍵環節，證實學生6的觀點.

師：為什么大家就沒求出直線和圓的交點呢？

生7：化出一元二次方程，運用判別式就確定方程有兩個不相等的實數根，說明方程組一定有兩個不相等的解，無需求出具體的解.

師：如果我請你求出交點坐標呢？你能求出來嗎？誰能猜透老師的心？

生8：判別式只能讓我們知道解的個數，而老師要我們知道精確的位置，這是從定性到定量的研究.

生9：不.老師要我們求弦長.

生10：老師在告訴我們，代數法從此顯威力了.

師：（很激動）多好的一群孩子，你們都——懂——我的心！

評價：教師老讓學生猜測自己的心思，其實是為了抓住學生的心，這樣，師生之間就一直保持著默契.在安全和諧的氛圍中，學生才最易激發靈感.

師：給大家稍微增加點“重量”，不知敢不敢再作嘗試？

生：（齊聲）敢！

評價：師生對話以商量的口吻，體現了教學的民主，構建了生態的、和諧的課堂，學生在不知不覺之間，處理了教材中的例1和例3，這就是教學預設要處理的主體部分.現在，教師又以激將法的口吻再一次調動學生的探究熱情，高潮又起，不經討論，學生也知道該怎么做了.

一會兒，學生舉手.

生11：經過討論，大家都深有同感，運用代數法不如幾何法簡單.

師：問題出在什么上？

生11：在運算上.

師：請大家看書，再一次品味.

學生看書.

師：代數法真不簡單，硬塞在這里，真是的.

生12：老師，它不是想強調代數法的嘛！

師：代數法好在哪？

生13：幾何法在解決有關圓的問題上有時確實不錯，只要抓住“兩個半”三角形即可.但代數法比幾何法有著更廣闊的發展前景，不瞞你說，我自學一點圓錐曲線，那里，代數法大顯神威，幾何法卻退出舞臺.

學生又一次贊嘆！

生14：你剛才說的什么三角形？

生13：由半徑、半弦和弦心距構成的直角三角形，我稱它為“兩個半”三角形.

師：未來數學史上能有你的名字.

學生又笑了！

教師：大膽運用代數法的請舉手.

有6人舉手.

師：我想他們不是不會幾何法，肯定是想小試牛刀吧！

評價：學生的學習是智力和非智力因素相互作用，通過手、腦、口并用所表現出來的一種渴望解決問題的心理特征.其中，智力和情感好比學習的“兩條腿”，在學習過程中同樣發揮重要的作用.

筆者在《從“合作學習”透視“人本主義”》一文中曾經寫道：“人們常說，授之以魚，不如授之以漁.而我認為，授之以漁不如授之以欲，真正讓學生“欲進去”，那是何等美妙！”現在想來，當時的話在其后的實踐中一次次得以印證，且得到進一步豐富與完善.

反思：教學實踐中，有的教師火急火燎地呈現幾何圖形，立馬要學生指出直線方程和圓的方程，緊接著就是解二元二次方程組，第一節課就進行多達8道題的強化訓練，致使學生失去了一次很好的建構機會.筆者認為，這樣的定位是不適宜的.第一課時應側重于知識的生成，不要急于進行太多的題目訓練，要讓學生品嘗新知的“鮮嫩”，興致勃勃地欣賞、品味并主動接納.新概念與結論的產生都是有很大的合理性的，如果脫離了這種合理性直接講解，總有天上掉下來個林妹妹之感，新知的生成過程從某種意義上講，就是還原這種合理性的過程.筆者認為，從學生的已有經驗出發，通過一系列問題的引領與探究，逐步拾級而上，每一步跨越，學生是可及的且需要努力的，在活動中感受新知，預見其價值.

在數學課上，教師除了要給學生具體的數學知識外，更重要的是要以此為載體傳授一些思想、策略和行為方式.在幫助學生獲取知識的同時，盡可能地贊揚學生個性化的學習方式.引導與評價相結合，解惑與激趣相結合，幫扶與放手相結合，多一些元認知提示語，并逐步引導學生學習揣摩教材編者、考試命題者和教學引導者的心理，教會學生換位思考，轉換角度看問題.

“幾何法”與“代數法”雖然被看成解決“直線與圓的位置關系”的兩條腿，由于剛接觸代數法，尚感別扭，有人就埋怨運用這種方法干什么，這一點，在學生的解題研究中已得到印證.事實上，有的教師順著學生的反應，產生同樣的排斥心理.而筆者認為，這正是一個很好的“教育點”，在科學問題上，很多后來堅定的支持者，原先曾是堅決的反對者，他們或許是因為認識不足，或許因挫折而懷疑或否定，特別是那些曾經瘋狂的反對者，一旦認清本質，倒變成了忠誠的擁護者.“代數法”雖然在“直線與圓的位置關系”中不見多大優勢，可是在“直線與圓錐曲線的位置關系”中發揮著巨大的作用，我們的目光不能僅盯著眼前的“小山頭”，而應放眼整個“戰場”，這也正是做數學應該加強的整體觀念.

教學生學會學習，絕不是高強度訓練，而是創設問題情境，把學生帶入研究的氛圍中，讓他們感覺自己就是一個發現者、研究者、鑒賞者和評價者，做研究的主人.記得在武漢十一中聽了特級教師符永平的一節“一元二次方程的概念起始課”，他把學生看成教材的編者，這時，學生感覺自己成了教材的主人，一節課高潮迭起，學生思維活躍，他們還真有點編者的味兒.校長郭振京也曾跟我說：“如果你把學生看成一個研究者，他很有可能就成為一個研究者，因為你把他當成研究者的時候，無形中按照研究者來設計教學，這讓他們登高望遠，增強責任心！”是的，當學生成為一個研究者的時候，教師的任務就是參與其中，傾聽學生的心聲，把握最佳時機，激發創造潛能，評價研究成果，欣賞創造智慧.

美國功勛教師德·鮑拉曾說：“教重要的在于聽，學重要的在于說.”傾聽學生的心聲是尊重學生的最好表現，了解學生的想法，欣賞學生的進步會讓學生更親近你.教好數學，絕不能只盯分數，為分為智還要為情.比如適當搞智力游戲，玩一玩智力撲克牌，搞些合作實驗，講一些勵志型科學家故事，講身邊同學成長的故事，幫老師選作業題，給學生定“一周進步檔案”，搞“一月效率論壇”，充分調動情感智力因素，更能促進智力的發展.

數學科學教育離不開數學文化教育，脫離文化的純數學是不存在的.也只有重視數學文化教育，數學教育才能更好地開發學生的非智力因素，教師的工作應該是追求智力因素與非智力因素的綜合效益.實際上，在數學學習活動中，乃至在數學能力的發展中，非智力因素都起著動力的作用、定型的作用和補償的作用.對于情感智力的培養，盡管筆者尚在摸索之中，卻也獲得了不少階段性的成果，對于數學學科教學而言，更多關注學生年齡特征，關注全體學生，關注情感智力的開發，這對于學生是一種福祉.