向量客串 匠心獨(dú)具

☉湖南省長沙市明德中學(xué) 何 玲

向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，由于它具有幾何和代數(shù)的“雙重身份”，因此成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系各種知識(shí)的媒介，特別是在處理度量、角度、平行、垂直等問題時(shí)，向量工具有其獨(dú)到之處，尤其是解決解析幾何問題中，它像“一個(gè)客人”，以其匠心獨(dú)具的思路去剖析一個(gè)個(gè)棘手的題目，能夠大顯身手.請看下面例題.

例1 如圖1，給定點(diǎn)A（a，0）（a＞0）和直線l：x=-1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系

常規(guī)解法：根據(jù)題意，設(shè)B（-1，b）（b∈R），則直線OA與直線OB的方程分別為y=0和y=-bx，設(shè)點(diǎn)C（x，y），則有0≤x＜a.由OC平分∠BOA，知點(diǎn)C到OA，OB的距離相等，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，有：

把b代入①，得：

整理可得：y2［（1-a）2x2-2ax+（1+a）y2］=0.②

當(dāng)y=0時(shí)，b=0，∠BOA=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），滿足②式，

則點(diǎn)C的方程為：（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，y2=x（0≤x＜1）表示一段拋物線.

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，表示一般橢圓；當(dāng)a＞1時(shí)，表示雙曲線的一部分.

當(dāng)b=0時(shí)，∠BOA=π，點(diǎn)C（0，0）也適合方程.

綜上，點(diǎn)C的軌跡方程為：（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）.

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，表示橢圓的一部分，當(dāng)a＞1時(shí)表示雙曲線的一部分.

常規(guī)解法：略.

常規(guī)解法：略.

常規(guī)解法：略.

巧妙解法：設(shè)C（x，y），則（x，y）=（3α，α）+（-β，3β）=（3α-β，α+3β）.

小結(jié)：解決這類問題的關(guān)鍵是把解析幾何題目中的條件向量化，這無形中加大了題目的難度，提高了對(duì)學(xué)生綜合能力的要求，學(xué)生解答這類題目的關(guān)鍵是把向量的條件表達(dá)的幾何意義挖掘出來，或者直接運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題.