利用單位根給出一般周期數列的通項公式

☉浙江省溫州中學 林慶望

☉浙江省溫州大學 於家海

首先回顧周期數列的定義：給定數列{an}，如果存在不為0的正整數T，使得ai=ai+T對一切自然數i都成立，則稱數列{an}稱為周期數列，稱T為這個數列的周期.例如a，b，c，a，b，c，…，一般要寫出這個簡單周期數列的通項并不困難，通?？梢杂梅侄瓮椆絹泶_定.但是如果想用一個統一的通項來表示，卻不那么容易.下面我采用“分解組合”的思想，介紹利用單位根給出一般周期數列的通項公式.

一、退到最簡單的情形

二、回到稍許復雜的情形

容易計算

有了上述準備，我們給出前述數列的通項公式為

三、推廣到一般周期數列的情形

由前面的鋪墊，我們想到類似的、更一般的周期數列的通項應該與單位根有關.不妨設所給數列的周期為k，即a1，a2，a3，…，ak，….先考查xk=1在復數域上根的分布情況，易見單位根分別為ω2=ω12，ω2=ω12，…，ωk=ω1k=1.我們當然希望xn可由這k個單位根來表示.由上面討論我們可猜想周期為k的數列的通項公式為

下面給出該猜想的詳細證明.對上述猜想，我們只需證明通項公式中ai的系數有且僅有一個為1，其余都為0，并且哪一個ai的系數為1，由n除以k的余數確定（r=n（modk））.特別地，當k整除n時，即ak的系數即為1；當k不整除n時，即ar的系數為0.下面分兩種情況討論：

即ak的系數為1.而?r1=1，2，3，…，k－1而言，

換句話說，這種情況下，除ak外，ar1的系數均為0.

而?r1=1，2，…，r-1，r+1，…，k-1，k來說，

在這種情況下，除ar外，ar1的系數均為0.至此，我們證明了猜想的正確性.

四、一般周期數列再推廣

我們還可以考慮這k個數中，可能會有相等的數字.如a，a，b，b，c，c，a，a，b，b，c，c，…，根據上面的論述我們容易得到它的通項公式為

我們還可以考慮不均勻的情況，如a，a，a，a，b，b，b，c，c，d，a，a，a，a，b，b，b，c，c，…，不難發現該數列的通項公式為

其他情況，這里就不再贅述.

一點啟示：數學大師華羅庚先生曾經說過：“我們要善于退，足夠地退，退到原始而不失重要性的地方，退到我們容易看清問題的地方…”，從這個問題的解決過程來看，正是這樣“退”的思想來指導我們獲得解決問題的思路.今后我們遇到其他難題時，學會冷靜分析，努力將問題分解成若干個簡單問題，然后一一將它們攻克，再將這些簡單問題進行適當組合，最終解決原來的問題.這種“分解組合”的思想，在數學問題解決中應該大有用武之地.