探析如何利用導數解決實際問題中的“優化”問題

☉云南省昆明市第十中學 劉喜全

在實際生活中的優化問題一般為利潤最大、用料最省、效率最高等問題.這類優化問題可歸結為求函數的最值問題，導數正是求最值的有力工具，利用導數處理優化問題的基本思路是將題目中的實際問題轉化為數學問題進行求解.筆者通過對幾道試題的評析談談如何靈活運用導數處理實際問題中的優化問題，以饗讀者.

例1 兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧A（B上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x，則BC2=400-x2，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k；當垃圾處理廠建在A（B的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將y表示成x的函數.

（2）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧A（B上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離，若不存在，說明理由.

當x=

令y′=0，得18x4=8（400-x2）2，所以x2=160，即x=4時，18x4＜8（400-x2）2，即y′＜0，所以函數為單調減函數，當＜x＜20時，18x4＞8（400-x2）2，即y′＞0，所以函數為單調增函數.所以當x=4時，即當C點到城A的距離為時，函數y=（0＜x＜20）有最小值0.065.

點評與反思：本題是2009年山東高考試題，主要考查函數模型的建立和應用，主要涉及換元法、基本不等式法和轉化思想的考查.解題關鍵是根據題意列出函數不等式，然后利用導數求最值.利用導數求解實際問題的最值的一般步驟為：①認真分析實際問題的各量之間的關系，正確設定所求最值的變量y與自變量x的關系式y=f（x） ，根據實際意義確定函數的定義區間；②求解y=f（′x）=0所有的根；③具體判斷得出結果，將所得結論還原為實際問題的意義.

點評與反思：本題是由課本題目改編，解題的關鍵是如何建立y與θ、x之間的函數關系，此時往往先通過已知條件找出θ與x之間的關系，從而將這兩個變量轉化為一個變量后，再尋找剩下的這個變量與y之間的關系，從而建立目標函數再利用導數求其極值.利用導數解有關最值的實際問題，難點在于如何根據實際問題，建立合適的函數關系即建立目標函數；如果函數中有幾個變量，則可以通過問題中的輔助的條件消去部分變量，最后成為一個一元函數，再通過導數進行求解.在解題過程中要特別注意：根據問題的實際意義給出所選定自變量的定義域.

導數在自然科學、工程技術及日常生活等方面都有著廣泛的應用，導數是在生產技術和自然科學的需要中產生，同時也促進了生產技術和自然科學的發展，導數是探討數學乃至自然科學的重要的、有效的工具之一.從近幾年的全國各地的高考試題和平時的高三模擬試題中可以清楚地看出利用導數知識解決實際問題中優化問題已成為命題的熱點和難點.這就要求一線的高中數學教師在平時的課堂教學中注重對這方面能力的培養.