2012年高考函數(shù)基礎點掃描

☉浙江省天臺中學 褚人統(tǒng)

函數(shù)是高中數(shù)學中最重要的概念，并且包含了很多衍生概念和相關概念.因此本專題的內容在高考中所在比重最大，試題涵蓋易、中、難各個難度層次.下面對本專題在高考中考查的15個基礎點進行掃描，以供讀者重點注意.

一、求函數(shù)解析式，計算函數(shù)值

此題型主要考查學生的運算能力，通常是給出解析式和自變量，求函數(shù)值，學生只需代入并計算即可；若函數(shù)為抽象函數(shù)（即沒有給出具體的解析式），則對代入的技巧要求更高，計算量相對更小；對于分段函數(shù)，則需要判斷一下自變量所屬的范圍；對于已知奇偶性的函數(shù)，則可借助自變量的相反數(shù)的函數(shù)值；還有一類題目，解析式中帶有待定系數(shù)，此時只要代入題目中事先給出的數(shù)據(jù)，則可通過解方程（組）解出待定系數(shù).此類題目通常難度偏低.

二、會計算定義域

此類題型也屬于基礎題型，解法比較固定，難度不是太大.對于給出具體解析式的函數(shù)，求定義域只需注意以下六點即可：①分式的分母非零；②偶次根式的被開方數(shù)非負；③對數(shù)式中的真數(shù)為正；④零次冪的底數(shù)非零；⑤指、對數(shù)的底為正且不為1；⑥正切值時對應的角終邊不落在y軸.在具體題目中，根據(jù)以上六點要求列出不等式（組），解之即可.

三、求函數(shù)的值域、極值、最值

此類題目是高考函數(shù)的熱點問題，2012年高考中每套試卷中都有這類題目的影子，而此類題目難度覆蓋層面較大，有易有難，主要取決于解析式的復雜程度.求值域的先決條件是已知定義域與解析式，這兩項準備工作通常不難完成，甚至多數(shù)題目在條件中會直接給出，關鍵是求值域的方法靈活多變，常見的方法有：單調性法、數(shù)形結合法（適合選擇、填空題）、導數(shù)法（求出最值，值域的端點通常就是最值），變形過程中還可能利用到分離常數(shù)、配方、換元等變形技巧.其中借助導數(shù)方法的較多（因為導數(shù)也是高考數(shù)學的一大熱點），這就要求學生對導數(shù)的應用非常熟練：導數(shù)的正負可以判斷單調性；單調區(qū)間的交界處即極值點；綜合考查極值點與端點可以找到最值點.

例3 （重慶理第8題，5分）設函數(shù)f（x）在R上可導，其導函數(shù)為f ′（x），且函數(shù)y=（1-x）f ′（x）的圖像如圖1所示，則下列結論中一定成立的是（ ）.

A.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）

B.函數(shù)f（x）有極大值f（-2）和極小值f（1

C.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（-2）

D.函數(shù)f（x）有極大值f（-2）和極小值f（2）

答案：D

四、函數(shù)單調性

此類題目通常考查函數(shù)單調性的判定或應用，且常與導數(shù)相結合，難度通常不是太大.對于單調性的判定問題，常見的解決方法有：利用定義（較煩瑣，很少見）、利用導數(shù)（較常見，因為導數(shù)也是考點）、利用圖像（適合選擇、填空題）、利用復合函數(shù)單調性判斷法則（常用于含有指數(shù)、對數(shù)或三角函數(shù)的復合函數(shù)）、利用關于單調性運算的結論（如增+增=增，增-減=增，增*增=增（要求函數(shù)值均恒正），-增=減）.至于單調性的應用，則主要有求最值和比大小.利用單調性求值域的問題前面已經提到，而比大小指的是在函數(shù)中，如果某一個區(qū)間上的單調性已知，則在此區(qū)間內，可由x1，x2與f（x1），f（x2）中其中一組大小關系，推斷另外一組大小關系.其中常用的是將f（x1），f（x2）的大小關系轉化為x1，x2的大小關系，因為這樣可以省去代入函數(shù)中的運算.

例4 （廣東理第4題，5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（ ）.

答案：選

五、函數(shù)奇偶性與圖像的對稱性

此類題目通常考查函數(shù)奇偶性的判定與應用，難度不是太大.對于奇偶性的判定，則主要通過定義，先檢查定義域是否關于原點對稱，然后考查f（-x）與f（x）的關系，此外還可以利用關于奇偶函數(shù)運算的結論（如奇+奇=奇，奇*偶=奇，|奇|=偶）.關于奇偶性的應用，則主要有兩點：第一是微觀上的，即考查互為相反數(shù)的兩個自變量所對應的函數(shù)值之間的關系，第二是宏觀上的，即通過原點某側的圖像推斷原點另一側的圖像.

例5 （湖北文第6題，5分）已知定義在區(qū)間［0，2］上的函數(shù)y=f（x）的圖像如圖2所示，則y=-f（2-x）的圖像為（ ）.

答案：選B

點評： 其實， 圖像經過了以下的一些變換：y=f（x）

六、函數(shù)周期性

函數(shù)的周期性主要在三角函數(shù)中出現(xiàn)，對于一般函數(shù)，更多見的是“類周期函數(shù)”，即類似于周期函數(shù)的函數(shù)，這些函數(shù)在相鄰兩個“周期”內，解析式略有不同，例如滿足f（x+2）=2f（x）的函數(shù)f（x）.周期函數(shù)與類周期函數(shù)主要考查函數(shù)自變量從某周期到另一周期的跳躍，而這個動作的基礎則是從某周期到相鄰周期的過渡和變換，因此這類題目的關鍵就是根據(jù)題目條件，做好過渡工作.另外，周期函數(shù)與函數(shù)的對稱性密切相關，兩個對稱性（軸對稱或中心對稱）常常可以確保函數(shù)具有周期性（如果函數(shù)圖像有兩個對稱軸，則周期為軸間距的2倍；如果有兩個對稱中心，且這兩個中心縱坐標相同，則周期為兩個中心橫坐標差的2倍；如果有一個對稱軸和一個對稱中心，則周期為對稱中心到對稱軸距離的4倍），利用函數(shù)周期性畫函數(shù)圖像也比較常見.

例6 （重慶第7題，5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）為［0，1］上的增函數(shù)”是“f（x）為［3，4］上的減函數(shù)”的（ ）.

A.既不充分也不必要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.充要條件

分析：由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)及在［0，1］上是增函數(shù)可知，在［-1，0］上是減函數(shù)，又2為周期，所以在［3，4］上也是減函數(shù).

七、零點的分布問題

此類題目多在新課標地區(qū)出現(xiàn)，考查零點的存在定理：［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f（x）在（a，b）內有零點的充分不必要條件是f（a）f（b）＜0；若f（x）為連續(xù)單調函數(shù)，則為充要條件.為此，此類題目只需判斷端點函數(shù)值是否異號即可，通常難度不大.對于f（x）的圖像容易被作出的情況，數(shù)形結合也不失為一種好的方法.現(xiàn)在利用零點存在定理解決綜合問題也經常出現(xiàn)，這樣的試題難度就很大.

例7 （遼寧理第11題，5分）設函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且 當x∈［0，1］時，f（x）=x3.又函數(shù)g（x）=，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在］上的零點個數(shù)為（ ）.

A.5 B.6 C.7 D.8

分析：由f（-x）=f（x），知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（2-x）=f（x-2），所以函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)，且f（0）=0，f（1）=偶函數(shù)，且g（0）=g（）=0.在同一坐標系下作出兩函數(shù)在-［］上的圖像，如圖5，發(fā)現(xiàn)在］內圖像共有6個公共點，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在］上的零點個數(shù)為6，故選B.

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性、函數(shù)圖像、函數(shù)零點等基礎知識，是難題.求零點個數(shù)問題的常規(guī)處理是將f（x）-g（x）=0變換化簡（注意不要失根）為f（x）=g（x），其后一般用數(shù)形結合方法判斷個數(shù)；在畫圖形時不要隨意畫，要正確判斷函數(shù)的性質，尤其是單調性、最值，畫準確的圖像，否則是在用一個錯誤的“形”來判斷“數(shù)”了.

八、函數(shù)圖像

九、定積分

此部分內容為新課標新增內容，重點考查定積分的幾何意義與計算，通常難度不大.定積分的幾何意義即曲邊梯形的面積，考生只需找出待求圖形的邊界對應的函數(shù)解析式，并找準積分區(qū)間，即可列出算式；至于定積分的計算，多采用牛頓-萊布尼茨公式，只需逆用求導公式，找出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，然后代入積分上下限，作差即可.

例9 （山東理第15題，4分）設a＞0.若曲線ya，y=0所圍成封閉圖形的面積為a，則a=________.

十、分段函數(shù)

分段函數(shù)，即函數(shù)在定義域的不同子集合內，采用不同的對應法則.此概念對應題目多為簡單或中檔題.解決此類題目只要判斷清楚待求自變量究竟在定義域的哪一個子集內就好了，如果不確定，則需進行討論.至于分段函數(shù)與單調性、最值等問題的綜合，只需在每一“段”內分別考察單調性、最值，然后綜合考慮即可.

A.D（x）的值域為（0，1） B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù) D.D（x）不是單調函數(shù)

分析：A中，由定義直接可得，D（x）的值域為{0，1}.

D中，D（1）=1，）=0，D（2）=1，…，所以不是單調函數(shù).

十一、復合函數(shù)

此概念比較容易理解，就是將內層函數(shù)的函數(shù)值代入外層函數(shù)，得到新的函數(shù)值；關鍵是分清誰是內層，誰是外層，若函數(shù)解析式已給出，則題目通常難度不大，若函數(shù)為抽象函數(shù)，則往往偏難.

例11 （重慶文第10題，5分）設函數(shù)f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M=｛x∈R|f（g（x））＞0｝，N=｛x∈R|g（x）＜2｝，則M∩N為（ ）.

A.（0，+∞）B.（0，1）C.（-1，1）D.（-∞，1）

分析：由f（g（x））＞0，得g2（x）-4g（x）+3＞0，則g（x）＜1或g（x）＞3，即3x-2＜1或3x-2＞3，所以x＜1或x＞log35；由g（x）＜2，得3x-2＜2，即3x＜4，所以x＜log34.故M∩N=（-∞，1）.

十二、指數(shù)、對數(shù)的運算性質

A.x＜y＜zB.z＜x＜yC.z＜y＜xD.y＜z＜x

十三、導數(shù)、切線問題

此部分內容主要包括兩種題型：一是求導函數(shù)或導數(shù)值，二是利用導數(shù)求切線，兩類題目主要考查學生的運算能力，難度適中.求導函數(shù)只需牢記8個基本求導公式，掌握四則運算的導數(shù)運算法則和復合函數(shù)的運算法則即可（用定義求導數(shù)的題目非常少見）；對于求導數(shù)值的題目，通常就是先求出導函數(shù)，然后代入自變量；求切線的問題，關鍵在于是否已知切點的橫坐標，若已知，則將其代入函數(shù)可得切點縱坐標，代入導函數(shù)可得切線斜率，然后利用點斜式可求出切線方程；若切點的橫坐標未知，則通常設其為t，然后用點斜式算出切線方程（含t），然后再借助其他條件求出t，則此時切線方程隨之確定.

例13 （廣東理第12題，5分）曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為________.

分析：y=x3-x+3?y′=3x2-1?y′|x=1=2

?切線方程為y-3=2（x-1），即切線方程為2x-y+1=0.

十四、反函數(shù)

新課程中刪去了反函數(shù)的一般定義和求法，因此，僅在大綱考區(qū)出現(xiàn)此類問題，難度不會太大.這類問題主要考查學生是否熟悉原函數(shù)與反函數(shù)之間的關系，代數(shù)上，原、反函數(shù)的定義域與值域進行了互換，反函數(shù)的解析式可由原函數(shù)經“一（反）解二換（元）三注明（新的定義域）”的三部曲得到；幾何上，原、反函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱.

A.y=x2-1（x≥0） B.y=x2-1（x≥1）

C.y=x2+1（x≥0） D.y=x2+1（x≥1）

答案：選

十五、函數(shù)極限

A.不存在 B.等于6 C.等于3 D.等于0

分析：分段函數(shù)在x=3處不是無限靠近同一個值，故不存在極限.

點評：對于分段函數(shù)，掌握好定義域的范圍是關鍵.