一道中考壓軸題的磨制過程

●楊一麗 (寧波市教育局教研室 浙江寧波 315000) ●樊貞慧 (寧波市第七中學 浙江寧波 315000)

筆者多次組織并參加了寧波市數學中考試題的命制，深刻體會到一份優秀試卷的形成凝聚了所有命題組教師的心血，而壓軸題的命制又是試卷命制的核心.本文以2010年寧波市數學中考壓軸題的磨制過程為例談談試題的命制歷程，希望能給大家帶來一點啟示.

1 創作來源

圖1

(1)請直接寫出點C，F的坐標.

(2)求直線EF的解析式.

(3)將△OEF沿邊OE所在直線翻折，點F能否與點G重合，請說明理由.

思考 本題包含一次函數、二次函數、圖形變換、三角形全等、運動過程、分類、數形結合等相關知識點和核心思想方法，綜合性強.然而，本題有下列缺點：原二次函數在后續問題中未使用，各問題間遞進關系不明顯，第(4)小題求出S關于t的關系式后不再使用，給人以意猶未盡的感覺.

2 粗磨階段

針對原題的缺點，命題組分別提出了4種改進方案.

原題 如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點D在y軸上.已知∠DAB=60°，OA=2，拋物

方案1 不改變題目，增加一問，考查與拋物線有聯系的平移、旋轉問題.

(5)若將△OEF繞著點 O順時針旋轉 α°(0＜α＜180)，當△OEF的一邊與菱形ABCD的一邊垂直時，請直接寫出直線OF與拋物線的交點坐標(除原點外).

思考 方案1雖然使得拋物線后續使用的問題得到解決，但其主要缺點為：題量增加后難度增加，第(5)小題與前面各小題缺少遞進關系，有拼湊痕跡，因此本方案被否決.

方案2 對第(4)小題補充與拋物線相關的問題.

①求S關于平移時間t的函數關系式;

②直接寫出當重疊部分與△OEF相似時，直線OF與拋物線對稱軸交點的縱坐標h的范圍.

思考 方案2內容豐富了，且拋物線后續使用的問題也得到解決，但第(3)小題第②問的引出不夠自然，依然有拼湊痕跡.因此決定在保留原圖形模型條件下，另起爐灶，與其他核心知識方法結合，修改問題，于是又提出了以下的方案.

方案3 題目保留圖形模型，問題選擇從“三角形全等”入手，涉及“三角函數”等相關核心知識.原題變為：

如圖2，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形ABCD的邊長為4，邊AB在x軸上，OD =，OA=2.E為AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯結 OE.

(1)求證：點D在y軸上.

(2)直接寫出點C的坐標和∠DAB的度數.

(3)把△OEF沿OE所在直線翻折，點F落在點 F'上.

①點F的坐標為(-4，0)時，求出直線l的解析式，并判斷F'，G是否重合，請說明理由;

②當∠GEF'=30°時，求線段AF的長;

③如圖3，能否以點E，F'，G為頂點構成直角三角形?如果能，直接寫出點F的坐標.

圖2 圖3

在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形ABCD的邊長為4，邊AB在x軸上，OD =，OA=2.E為AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯結OE.

(1)求證：點D在y軸上.

(2)直接寫出點C的坐標和∠DAB的度數.

(3)把△OEF沿OE所在直線翻折，點F落在點F'上.當直線EF'與直線CD有交點時，記交點為H，如圖4所示.

①點F的坐標為(-4，0)時，求出直線l的解析式，并判斷點F'，G是否重合，請說明理由;

②如圖5，當點G與點C重合時，求DH的長;

思考 方案3增加了核心知識、核心方法的覆蓋量，但題設條件顯示不足，需要借助圖形以定位圖形中各點的位置.最后一問難度不夠，不足以區分學生的程度.最終命題組提出了以下方案：

方案4 題目保留圖形模型，問題選擇從“三角形相似”入手.原題變為：

圖4 圖5

思考 方案4的立意明顯高于前面幾個方案，且跳出了命題思維的局限性，視野變得寬廣，特別是最后一問在思維層次上有了較大的提升，突出對學生探究能力、創新能力的考查，體現了壓軸題的效度.盡管如此，方案4還存在2點不足：題設條件不足，需要借助圖形以定位圖形中各點的位置;第(3)小題的前2問設置內涵欠缺，有待改進.

3 細磨階段

3.1 方案4的修改稿(一)

原題變為：在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，頂點A，D的坐標分別為(-2，0)，(0，2)，點E為邊AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯結OE.

(1)求菱形ABCD的邊長和∠DAB的度數.

(2)把△OEF沿OE所在直線翻折得△OEF'，當直線EF'與直線CD有交點時，記交點為H，如圖4所示.

①點F的坐標為(-4，0)時，求出直線l的解析式，并判斷點F'是否線段CD的中點，請說明理由;

②如圖 5，當點 G與點 C重合時，求證：△DHE∽△DEC，并求DH的長;

思考 如此改變，使條件的設置到位，修正了“需借助圖形以定位圖形中各點的位置”的不足.但第(2)小題的第①問與第(2)小題的條件沒有直接聯系;問題數量太多，需刪除部分問題;在不影響題目內涵的前提下，減少第(2)小題第③問答案個數，以擺脫繁瑣的討論.因此，想到把點F規定在點A的左側，這樣符合條件的點F就減少為2個了.

3.2 方案4的修改稿(二)

原題變為：在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，頂點A，D的坐標分別為(-2，0)，(0，2)，點E為邊AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯結OE.

(1)求∠DAB的度數.

(2)當點F的坐標為(-4，0)時，求點G的坐標.

(3)把△OEF沿OE所在直線翻折得△OEF'，當直線EF'與直線CD有交點時，記交點為H，如圖4所示.

①求證：△DHE∽△DEC;

思考 第(3)小題條件中的“如圖4”含義有含糊的地方，對第(3)小題第②問中分類考慮的2種情況有爭議，于是將“直線EF'與直線CD有交點H”改為“直線EF'與線段CD的交點為H”.

3.3 方案4的修改稿(三)

原題變為：在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，頂點A的坐標為(-2，0)，點D的坐標為(0，2)，點E為線段AD的中點，聯結OE，過點E的直線l與CD所在直線交于點G，與x軸交于點F.

(1)求∠DAB的度數.

(2)當點F的坐標為(-4，0)時，求點G的坐標.

(3)以OE所在直線為對稱軸，△OEF經軸對稱變換后得到△OEF'.如圖4，記直線EF'與線段CD的交點為H.

①求證：△DHE∽△DEG.

思考 當問題修改到此，原菱形中的邊長信息已不再需要，于是把菱形改為平行四邊形.為保證結果中2種分類情況，只需把“直線DC”改為“射線DC”即可.

4 定型階段

經過以上磨制，最終確定考題如下：

在平面直角坐標系中，O是坐標原點，?ABCD的頂點 A的坐標為(-2，0)，點 D的坐標為(0，2)，點B在x軸的正半軸上，點E為線段AD的中點，過點E的直線l與x軸交于點F，與射線DC交于點G.

(1)求∠DCB的度數.

(2)當點F的坐標為(-4，0)時，求點G的坐標.

(3)聯結 OE，以 OE所在直線為對稱軸，△OEF經軸對稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與射線DC的交點為H.

①如圖4，當點 G在點 H的左側時，求證：△DEG∽△DHE;

思考 一道亮麗的壓軸題終于新鮮出爐，本題重點考查了平行四邊形的性質、三角形的相似和全等、圖形的對稱、面積、坐標等核心知識，涉及了方程、數形結合、分類討論的思想，并且利用對稱巧妙地將代數與幾何結合起來，充分體現了新課程的理念.各小題梯度明顯，第(3)小題為一些優秀學生提供了展示的舞臺，解決問題的關鍵是在圖形的變化中發現角與角之間的關系、線段與線段之間的關系，要認清問題的實質就要求學生具有完整的知識儲備和較高的思維能力.

5 原問題的突破與反思

實際考題中已經降低了第(3)小題第②問的分類次數，再深入思考，題目條件中除了平行的條件外，平行四邊形本身并不是必要的.去除這些因素，原題可變為下面更理想的形式(為便于與考題比較，以下不考慮字母順序)：

如圖6，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為(-2，0)，點D的坐標為(0，2)，直線DC∥x軸，點E為線段AD的中點，過點E的直線l與x軸交于點F，與直線DC交于點G.

(1)求∠DAO的度數.

(2)當點F的坐標為(-4，0)時，求點G的坐標.

(3)聯結 OE，以 OE所在直線為對稱軸，△OEF經軸對稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與直線DC的交點為H.

①如圖7，當點 G在點 H的左側時，求證：△DEG∽△DHE;

圖6 圖7

通過以上編制過程可知，命題時不僅要從知識、能力、思想方法層面考慮題目的綜合性、新穎性、深刻性，同時要符合數學內在的規范性、科學性、嚴謹性，也要兼顧圖形的美感等呈現形式.復習資料中的習題往往難度較大、結構混亂，問題的類型和情景的設置單一，從而增加了學生的學習負擔，使學生的思維能力、學習熱情及態度、價值觀得不到較好地培養.因此，編制出好的習題，通過對習題的剖析，有效地培養學生對知識的理解、運用和遷移能力尤顯重要.唯有命制出好題，才能提高教學效率，從本源上減輕學生負擔.但是，會解題的不一定會編題，編題的過程不僅是一個解題的過程，更主要的是把解題引向深入的研究過程，是從一個簡單的問題出發，逐步演繹深化的過程，是探究創新的過程.一般來說，數學問題的演變需要深厚的數學功底、良好的思維素質、熟練的編題技巧.這就需要全體教師的共同努力!