在自然的思考過程中催生“新想法”
——“數學歸納法”第一課時賽課后的討論及教學改進建議

●

(麗水市教研室 浙江麗水 323000)

●江建國

(麗水學院附屬高級中學 浙江麗水 323000)

在自然的思考過程中催生“新想法”
——“數學歸納法”第一課時賽課后的討論及教學改進建議

●施仁智

(麗水市教研室 浙江麗水 323000)

●江建國

(麗水學院附屬高級中學 浙江麗水 323000)

1 背景介紹

2011年5月，麗水市青年教師優質課比賽在縉云中學舉行，9位教師就“數學歸納法”第一課時(高中數學人教A版2-2)為觀課的同行奉獻了精彩的9節課，選手們的課堂教學得到了評委們的認可，但美中也有不足：其一，引入的問題是否一定要“難住學生”；其二，問題引入到演示實驗如何更加自然.筆者在賽課結束后，對這2個問題進行了思考，不妥之處請批評指正.

2 數學歸納法教學的三部曲

9位教師對數學歸納法第一課時的教學處理，剔除技術細節，凸顯教學枝干，就會發現設計思路基本一致，都是圍繞“引入問題、類比探究、技能訓練”這3個環節展開.歸納猜想不能保證結論的正確性，怎么辦——引入問題；為尋找新方法，演示實驗，從中發現歸納法原理——類比探究；強調原理要點，應用原理解決問題——技能訓練.

2．1 設置認知沖突，引入問題

9位教師引入的問題都回避了課本問題，選擇了比課本問題難度更大的問題，下面摘錄其中一位教師的引入.

解易知a2=3,a3=4,a4=5,猜想an=n+1.

師:猜想的結論正確嗎？

生：不一定.

師：要證明猜想的正確性，請大家先看實驗，能不能從中受到啟發，找到證明的方法.

在問題引入環節中，教師的指向性非常明確，那就是：歸納猜想得到的結論不可靠，為了證明猜想的正確性，要尋找新的證明方法，為尋找新的證明方法，請大家先看演示實驗.

2．2 實驗演示，類比探究得出原理

9位教師中有8位是用多米諾骨牌視頻進行演示，另一位教師用自行車棚里一排自行車依次倒下的視頻演示實驗.學生觀看并思考2～3分鐘后，教師開始提問，引導學生把觀察到的實驗現象類比到數學證明中去，探尋新的證明方法，師生間交流如下：

師：要使所有骨牌倒下應具備哪些條件？

生：必須具備:(1)第1塊骨牌倒下；(2)前一塊骨牌倒下，能帶動后一塊骨牌倒下.

師：(以引入案例為例說明)要確保我們猜想的結論an=n+1正確，類比骨牌倒下的條件，必須滿足哪些條件？

生：(1)a1=2=1+1；(2)若an=n+1,能推出an+1=(n+1)+1.

師：把所有骨牌倒下的條件類比到數學問題中，我們會發現它們之間的關系如表1所示(師生共同完成).

表1 多米諾骨牌游戲原理與數學歸納法

這一方法還可以類比到證明與自然數有關的命題中去，這就是我們今天要學習的數學歸納法，即：證明一個與正整數有關的命題，可按以下步驟進行：

(1)當n取第1個值n0(n0∈N*)時命題成立；

(2)假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立；

由(1)，(2)可知命題對從n0開始的所有正整數n都成立.

2．3 解讀原理，問題訓練，形成技能(略)

2．4 課堂小結(略)

2．5 教學過程不自然

不合邏輯的認知導致教學過程不自然，“猜想的結論不可靠，我們就要尋找新的證明方法，為尋找新的證明方法，大家請看實驗……”結論是否可靠需要進行證明，證明不一定要尋找新的證明方法，只有當已有的方法無法解決時才考慮尋找新的方法，要尋找新的方法首先要調動的是已有的知識儲備，而不是看實驗.當從已有的知識儲備中無法得到啟示，需要查閱資料，探尋相關問題的解決方法，而不是突兀地看實驗.從認知上說，思維生長不自然，實驗演示又顯得突然，貌似環環相扣的環節其實經不起推敲，學生在教師的牽引下盲目前行.“學生思維起點在何處？要引導學生思維走向何處？思維過程中的障礙在何處？”這3個基本問題是教師在教學過程中必須要考慮的，否則只能是“拽著學生跟著老師走，大步往前不回頭”.

3 數學歸納法教學的改進建議

3．1 教學起點分析

歸納猜想得到的結論不可靠是學生進一步探求問題證明的學習動力，學生已具備的抽象能力是化無限為有限的認知基礎，算法程序中的循環語句是學生把具體問題抽象化的操作基礎,生活經驗的支撐是克服理解困難的基礎.

正確的猜想可以無限驗證下去，有限的生命面對無限的驗證怎么辦？學生即使用其他方法解決了提出的問題，對無限能不能化為有限也是很自然的思考，這種想法是數學歸納法的萌芽.要想解決無限化為有限的問題，既要跳出問題之外，尋求經驗支持，還要深入問題之中，探尋問題的本質.算法程序中的循環語句、線面垂直判定定理、多米諾骨牌游戲等都是可以借鑒的經驗.提出歸納法的基本步驟后，對其正確性依然持懷疑態度，生活經驗是幫助學生克服理解困難的基礎.

3．2 改進后的設計思路

3．2.1 問題引入

猜想可以發現新結論，證明才能確保結論的正確性，猜想是否正確還需要進行證明，讓學生嘗試去證明.

(給學生3分鐘的時間，因為構造等差數列比較容易，大部分學生能完成問題的證明.)

3．2.2 反思探究，催生新想法

在逐項驗證過程中要求a2必先知道a1，要求a3必先求什么？要求a6必先求什么？要求ak+1必先求什么？求a2,a3,a4,a5,…本質上有什么差別嗎？

(提問時稍作停頓，留待學生思考.)

改變a1的值上述循環還能進行下去嗎？a1與a2,a3,a4,a5,…的地位相同嗎？它相當于算法中的什么？要是能用有限的幾步驗證確保無限步驗證的正確性，你認為至少包括哪幾步？

3．2.3 經驗支撐，形成原理

反之，當(1),(2)都成立，能確保命題成立嗎？有沒有類似的生活經驗支持你的猜想？引導學生回憶生活中的類似經驗：(1)父親姓周，(2)兒子隨父親姓，則其兒子、孫子……都姓周.演示多米諾骨牌游戲：(1)第一塊骨牌倒下，(2)前一塊骨牌倒下能推倒后一塊骨牌，則所有骨牌都會倒下.

這種解決問題的方法能推廣到其他數學問題中去嗎？要是能推廣，它適用哪一類數學命題？

(師生共同探討完成，加深理解.)

這種解決問題的方法我們稱之為——數學歸納法，其具體的表達形式請大家翻開課本……

4 2點思考

4.1 原理引入要體現其自然的、水到渠成的思維過程

人教A版教材主編寄語“數學概念、數學方法和數學思想的起源和發展都是自然的”.自然主要表現在：(1)數學命題無數，但作為公理、定理的不多，這些命題之所以作為公理、定理是有其必然性的，除了命題本身表述簡潔、蘊含深刻的數學思想之外，也是最容易讓人自然而然想到的問題；(2)作為公理、定理的命題在數學知識發展過程中是必須解決的問題，有其必要性；(3)統攝程度高，應用相對廣泛.首先，數學歸納法從本質上來說是用有限解決無限的問題，當我們面對無限時該怎么辦，解決的辦法是發揮人的智慧，化無限為有限，用有限的步驟替代無限驗證.

4.2 要重視原理形成過程對學生發展的長期影響

會使用工具的人掌握的是一種技能，會制造工具的人滲透的是一種思想.數學歸納法作為原理，具有高度的抽象性，學生在學習過程中即使會用數學歸納法解決一些問題，并不一定真正理解了它的意義.本節課的重點也是難點是理解數學歸納法的形成過程，要理解它的形成過程至少包含3個層面的含義：首先是“為什么”，既是探尋新方法的必要性、探索的動力所在，又是培養問題意識的重要資源；其次是“怎么辦”，也就是方法怎么尋找，從哪兒入手，還是要回到問題中來，抽絲剝繭式地透過現象揭示本質，把一連串的重復驗證行為抽象出來形成一個命題，是關鍵的步驟；再就是“怎么用”，是一個程序問題，適用范圍是什么，具體使用時的操作程序、注意要點等，是培養學生技能的關鍵舉措.

在現實課堂教學中，由于應試的需要，對技能的重視有過之而無不及，一大批解題高手也應時而生.而罔顧過程的完整性，也導致了學生提不出有新意的問題，面對新題束手無策，最終導致創新意識的缺失.

[1] 江建國，柳云，張娟萍.對話催生智慧 預設跨越障礙——數學歸納法教學簡錄及反思[J].數學教學研究，2010(6):18-20.

[2] 李渺，陳長偉.高效數學課堂教學行為研究[J].數學教育學報，2010,19(5):80-83.

[3] 吳佑華.有效變式：為數學課堂生成智慧溢彩[J].數學教學研究，2010(8):2-11.