從圓到橢圓
——一類高考試題的設計方法

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(建湖縣高級中學 江蘇建湖 224700)

從圓到橢圓
——一類高考試題的設計方法

●卜以軍

(建湖縣高級中學 江蘇建湖 224700)

1 重慶卷(理)第20題的設計方法

從而點P1的軌跡是圓C1：x2+y2=20.

圖1 圖2

(1)求該橢圓的標準方程.

2 江蘇卷第18題的設計方法

如圖3，若P1A1是圓O:x2+y2=4的直徑，且不在坐標軸上，過點P1作x軸的垂線，垂足為C1，聯結A1C1，并延長交圓于點B1，則直線P1A1的斜率與直線P1B1的斜率有什么關系？

圖3 圖4

設點P1的坐標為(x1,y1)，則A1(-x1,-y1),C1(x1,0),從而

即

因為P1A1是圓O的直徑， 所以P1B1⊥A1C1，從而

kP1B1·kA1C1=-1,

即

kP1B1·kP1A1=-2.

因此，對于上述的圓和直線，只要直線P1A1和P1B1的斜率都存在，就總有P1A1和P1B1的斜率之積為定值-2.

從而PA⊥PB.這就形成了江蘇卷第18題：

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

3 山東卷(理)第22題的設計方法

又設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則

3(cos2α+sin2α)=3,

2(sin2α+cos2α)=2.

圖5 圖6

這就是山東卷(理)第22題的第(1)小題，也是該題的基礎和關鍵.原試題如下：

(2)設線段PQ的中點為M，求|OM|·|PQ|的最大值.

4 四川卷(理)第21題的設計方法

圓的這個性質不容易發現，證明過程也比較復雜.證明過程如下：

設直線l的方程為

y=kx+m(k≠0,m≠0,±ka+m≠0),

(1+k2)x2+2kx+m2-a2=0,

從而

直線AC的方程為

直線BD的方程為

聯立2個方程得

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

所以

從而

即

解得

圖7

例4如圖7，橢圓有2個頂點A(-1，0)，B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于點C，D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．

從以上的分析中可知，橢圓中的定點、定值、垂直等問題，可以先在圓上進行研究，得到一個正確的結論后，再通過變換得到橢圓上的與之相對應的結論.或將圓的一些熟知的結論類比到橢圓上，再進行深入的研究，得到橢圓的一個正確的結論，然后進行加工、改編，形成一道適合中學生進行知識鞏固、方法訓練、能力測試、選拔考試的試題.這是一種常用的非常有效的命題方法.