轉化
——解決高考關鍵題的靈魂

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(海鹽元濟高級中學 浙江海寧 314300)

轉化
——解決高考關鍵題的靈魂

●胡水林

(海鹽元濟高級中學 浙江海寧 314300)

綜觀每年各地高考試題，決勝高考的關鍵題是選擇題、填空題、解答題等各后2個題目，如何處理這6個題目？成敗的重要性不言而喻.從浙江省新高考3年來的試題分析，選擇、填空題的后4個小題涉及到的知識點每年基本都不一樣，有平面向量、立體幾何、排列組合、解析幾何、集合、函數、方程和不等式等，突出了小題“調頭快”的功能，解答題后2個題目固定在解析幾何和導函數，涉及到的數學思想豐富.數學思想較之數學基礎知識，有更高的層次和地位.它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，是一種數學意識，屬于思維的范疇.而這6個題目體現了高中數學的主要思想：數形結合、函數與方程、分類討論和等價轉化，著力體現命題者對于數學思想的關注和重視.而要解好這6個題目的關鍵是要掌握其靈魂、實施其策略、達到其轉化的目的.

著名的數學家、莫斯科大學教授雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表“什么叫解題”的演講時提出：“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題.”數學的解題過程，就是把復雜、生疏、抽象、困難、未知的問題向簡單、熟悉、具體、容易、已知問題的化歸轉換過程.這是一種思想方法，也是一種策略.本文試圖用函數與方程、數與形、分類與討論、等價與化歸等四大轉化策略探索解決此類問題的方法，與同行們共同探討之.

1 函數與方程的轉化策略

函數思想，是指利用函數的概念和性質去分析、轉化和解決問題.方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合)，然后通過解方程(組)或不等式(組)使問題獲解.更重要的是使函數與方程互相轉化，達到解決問題的目的.如：不等式恒成立問題等.

(2010年天津市數學高考理科試題)

分析不等式恒成立問題在近幾年高考中經常出現，這類問題既含參變量又含自變量，往往與函數、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、知識交匯點多等特點，考題主要有以下2種方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數的值或取值范圍.解決這類問題的關鍵是轉化，通過化歸到函數求其最值來處理.

解法1分離變量法

依據題意得

即

(3m2+1)(4m2-3)≥0，

解得

解法2函數法

依據題意得

則

點評本題是較為典型的恒成立問題.解決恒成立問題的第1種解法是利用分離變量為最值的方法求解，即對原有不等式通過分離變量的方法分離出變量式，使其成為f(m)≤g(x)，然后求g(x)這個函數的最小值得g(x)≥k(或g(x)>k)，從而f(m)≤k.解決恒成立問題的第2種解法是函數法，即通過構造函數，轉化利用函數的特性分析解決問題.

變式1若函數f(x)=x4-6x2-(3+a)x在[0,2]上為增函數，求a的取值范圍.

(2010年全國數學高考理科試題改編)

2 數與形的轉化策略

數與形是數學中2個最古老、最基本的問題，二者之間是密不可分的.恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界中量的關系與空間形式的科學.”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而解決問題.

縱觀多年來的高考試題，把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題則會變抽象為直觀，使隱含的關系顯露出來.許多代數、三角問題有著幾何圖形背景,因此繪制其圖形來研究問題會顯得十分直觀．反之，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，在一定程度上說，使研究方式程序化.許多幾何問題可以利用代數、三角函數的方法解決，顯得十分簡潔、明確，起到事半功倍的效果.

例2設a，b是2個實數，A={(x,y)|x=n，y=na+b(n∈Z)}，B={(x,y)|x=m，y=3m2+15(m∈Z)}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，討論是否存在a和b，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時成立.

(1985年全國統一高考數學試題)

分析集合A，B都是不連續的點集，“存在a，b，使得A∩B≠φ”的含義是“存在a，b使得na+b=3n2+15(n∈Z)有解(當A∩B時，x=n=m).再抓住主參數a，b，則此問題的幾何意義是動點(a,b)在直線l：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，但原點到直線l的距離大于等于12.

解由A∩B≠φ得

na+b=3n2+15.

設動點(a,b)在直線l：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，從而圓心到直線距離

又n為整數，知上式不能取到等號，故a，b不存在.

點評集合轉化為點集(即曲線)，而用幾何方法進行研究.此題屬探索性問題,可用數形結合法解，其中還體現了主元思想、方程思想，并體現了對有公共點問題的恰當處理方法.

變式1 已知集合

N={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b∈R,r>0)}.

若存在a,b∈R，使得N?M，則r的最大值是

( )

A．3 B.2.5 C.2.4 D.2

變式2已知a>c，且ac=-1,則(a+1)2+(c-1)2的最小值為________.

變式3已知0

( )

A.1個 B.2個

C.3個 D.1個或2個或3個

變式4已知函數f(x)=|xex|，方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有4個實數根，則t的取值范圍為

( )

(2012年浙江省數學抽測理科試題)

圖1

分析本題是三角題.如令OD=x，OE=y,則將可CD,CE,DE用x,y表示.再令t=OD+OE=x+y，消去y，得到關于x的方程，設函數f(x)并轉化為對二次函數的研究.

解法1設OD=x,OE=y，聯結OC，則由余弦定理得

CD2=x2+1-x,CE2=y2+1-y,

DE2=x2+y2+xy.

4x2+4y2-2x-2y+2xy=1.

令t=OD+OE=x+y,則y=t-x代入消去y得

6x2-6tx+4t2-2t-1=0,

又0

即

解法2也可以利用不等式的性質，由

4x2+4y2-2x-2y+2x=1,

得

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy.

解法3還可以利用換元轉化為形.令x=a+b,y=a-b,x≥0,y≥0,則

b≤a,b≥-a,xy=a2-b2,

于是

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy,

可轉化為

10a2-4a+6b2=1,

即

求x+y=2a的范圍.能滿足條件的就是橢圓的一段，則

變式設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________.

(2011年浙江省數學高考理科試題)

3 分類與討論的轉化策略

分類討論是一種重要的數學思想方法，當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象進行分類，將整體問題劃分為局部問題，把復雜問題轉化為單一問題，然后分而治之、各個擊破，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略.

圖2 圖3

例4如圖2所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子染色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的2個格子顏色不同，則不同的染色方法的種數共有多少種？

(2007年天津市數學高考理科試題)

分析按照題設要求，從使用了多少種顏色分類討論入手，分別計算出各種情形的種類，再用分類計數原理求出不同的染色方法的種數.

解要給圖中的4個區域染色，可用2種或3種顏色完成染色任務，故需分成2類：

綜上可知，不同的染色方法共有390種.

變式1如圖3,用4種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F這6個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的2個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有________種(用數字作答)．

圖4

變式2如圖4，有6個半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．記集合M={⊙Oi|i=1，2，3，4，5，6}．若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個圓與B中的任何一個圓均無公共點，則稱(A，B)為一個“有序集合對”(當A≠B時，(A，B)和(B，A)為不同的有序集合對)，那么M中“有序集合對”(A，B)的個數是

( )

A．50 B．54 C．58 D．60

(2012年浙江省數學抽測理科試題)

4 等價的轉化策略

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷地轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題.歷年高考，等價轉化思想無處不見，不斷培養和訓練自覺的轉化意識，有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.

(1994年全國統一高考數學試題)

分析從問題著手進行思考，運用分析法，通過等價轉化的方法，逐步探求問題成立的充分條件.

即

cos(x1-x2)<1.

由已知顯然cos(x1-x2)<1成立，因此

點評本題在用分析法證明數學問題的過程中，每一步實施的都是等價轉化.此種題型屬于分析證明型.

變式已知函數f(x)=x2+2x+alnx.當t≥1時，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求實數a的取值范圍

( )

A．(-∞,1) B．(-∞,2)

C．(-∞,1] D．(-∞,2]

(1)求實數a的取值范圍；

(2)若x1∈(0，1)，x2∈(1，+∞)．求證：

(2012年浙江省數學抽測理科試題)

點評本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用等基礎知識，同時考查推理論證能力、抽象概括等綜合解題能力和創新意識.

總之，數學是高考的主要學科，數學成績的高低將會決定考生的高考命運，而數學試卷上三大類型的后2個題目更是做好全卷的重中之重，能否抓住這關鍵題的解決靈魂——轉化，是決勝數學高考的關鍵！