探究抓牌游戲的數學奧秘

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(瑞安市錦湖第一中學 浙江溫州 325200)

●李家祥

(瑞安市安陽實驗中學 浙江溫州 325200)

探究抓牌游戲的數學奧秘

●李子法

(瑞安市錦湖第一中學 浙江溫州 325200)

●李家祥

(瑞安市安陽實驗中學 浙江溫州 325200)

有一個非常有趣的抓牌游戲，規則是：54張撲克牌，甲、乙2個人輪換抓，一次可抓1～4張牌，誰抓到最后1張誰就輸.在游戲中,筆者發現了保持勝出的辦法以及蘊含的數學思想方法，探討如下：

1 分析與探究

怎樣保持勝出呢？

不妨設甲第一個抓牌.先從最后剩5張牌開始研究，甲抓走4張，剩下1張，甲就會贏.

最后剩6張牌時，若甲抓1張，乙抓4張，剩下1張，甲只能抓走最后1張就輸了；若甲抓2張，乙抓3張，剩下1張，甲就輸了；若甲抓3張，乙抓2張，剩下1張，甲就輸了；若甲抓4張，乙抓1張，剩下1張只能由甲抓走，甲就輸了.綜合4種情況發現：最后剩6張牌時，誰先抓誰就輸，而乙贏的方法就是所抓的牌數加上甲的牌數等于5，剩下最后1張，甲非抓不可.

同理，最后剩下7張牌時甲先抓1張，最后8張牌時甲先抓2張，最后9張牌時甲先抓3張，最后10張牌時，甲先抓4張，……，這樣，甲再抓牌時只要與乙的牌數湊成5，則一定會贏.但最后剩下11張牌時，無論甲抓幾張，只要乙抓的牌數與甲的牌數湊成5，則甲一定會輸.最后剩下12張牌時甲先抓1張，最后13張時甲先抓2張，最后14張時甲先抓3張，最后15張時，甲先抓4張，……，這樣，甲再抓牌時，所抓的牌數只要與乙的牌數湊成5，則一定會贏.但最后剩下16張牌時，無論甲抓幾張牌，只要乙所抓的牌數與甲的牌數湊成5，則甲一定會輸.

由此得出一個有趣的規律：當牌數是6，11，16，…時，無論甲抓幾張，只要乙所抓的牌數與甲的牌數湊成5，則甲一定會輸；而當其他牌數時，甲都有辦法必贏.因為54÷5=10余4(9張牌和14張牌時類似)，所以甲先抓3張牌，甲再抓牌時只要與乙的牌數湊成5，那么到最后只剩下1張牌給乙，甲就可保持勝出.

通過以上研究，得到結論：若游戲規則是“甲、乙2個人輪換抓，一次可抓1～4張，誰抓到最后1張誰就輸”，那么當撲克牌數減去1的差能被5整除時，先抓的人必輸；當撲克牌數減去1的差不能被5整除時，先抓的人必贏.

2 問題的拓展

還是54張撲克牌，若改變游戲規則如下：甲、乙2個人輪換抓，一次可抓1～5張，誰抓到最后1張誰就輸.有沒有保持勝出的辦法呢？

不妨設甲先抓牌.因為54被6整除，所以甲只要先抓5張牌，無論乙抓幾張，甲再抓時所抓的牌數只要與乙的牌數湊成6，最后剩下1張給乙，甲就可保持勝出.

此類問題有沒有其他的求解方法呢？

可試一試倒推法.為了敘述方便，把54張撲克牌編上號，分別為1～54號，按編號從小到大抓撲克牌.甲為了取勝，必須把54號撲克牌留給乙，因此甲在最后一次抓撲克牌時，序號最大的一張必須是53.為了保證能做到這一點，就必須使乙在倒數第2次抓牌時的序號為49(53-4)～52(53-1).因此，甲在倒數第2次抓撲克牌時，序號最大的一張必須是48.為了保證能做到這一點，就必須使乙在倒數第3次抓牌時的序號為44(48-4)～47(48-1).因此，甲在倒數第3次抓牌時，序號最大的一張必須是43，…，把甲每次抓牌的最大序號從尾到首排列：53，48，43，…，觀察發現這是一個等差數列，公差d=5，且這些數被5除都余3.因此，甲第一次抓牌時應抓1～3號牌，然后乙抓a張牌，因為a+(5-a)=5，所以為確保甲從一個被5除余3的數到達下一個被5除余3的數，甲就應抓5-a張牌.這樣就能保證第一個抓牌的人必勝.

3 問題的啟示

這個游戲在探究過程中用到2 種數學思想方法：首先是從特殊到一般、簡單到復雜的歸納遞推方法，其次是采用倒推的逆向思維方法.這2種數學思想方法是解決疑難問題的2把金鑰匙，只要學會運用，許多困難都會迎刃而解.

3.1 歸納遞推方法

例1平面上5條直線最多能把圓的內部分成幾部分？平面上100條直線最多能把圓的內部分成幾部分？

分析如果直接畫圖解答，那么尋求問題的答案就很困難；如果先“退”到問題最簡單的情況開始觀察，逐步歸納并猜想一般的遞推公式，問題就迎刃而解了.

解用ak表示k條直線最多能把圓的內部分成的部分數，k=0，1，2，….如圖1所示:a0=1，a1=a0+1=2，a2=a1+2=4，a3=a2+3=7，a4=a3+4=11，…

圖1

歸納出遞推公式an+1=an+n，即畫第n+1條直線時，最多增加n部分.原因是：第1條直線最多把圓分成2個部分，故a1=2.當畫第2條直線時要想把圓內部分割的部分盡可能多，就應和第1條直線在圓內相交，交點把第2條直線在圓內部分分成2條線段，而每條線段又把原來的一個區域劃分成2個區域，因而增加的部分數是2，正好等于第2條直線的序號.同理，當畫第3條直線時，要想把圓內部分割的部分數盡可能多，就應和前2條直線在圓內各有一個交點，2個交點把第3條線在圓內部分成3條線段，而每條線段又把原來一個區域劃分成2個區域，因此增加的部分數是3，正好等于第3條直線的序號，….這個道理適用于任意多條直線的情形，因此遞推公式an+1=an+n是正確的.

這樣5條直線最多把圓內分成

a5=a4+5=11+5=16(部分).

要想求出100條直線最多能把圓內分成多少個部分，不能直接用遞推公式，可把遞推公式變形為：

an=an-1+n=an-2+(n-1)+n=

an-3+(n-2)+(n-1)+n=

…

1+1+2+3+4+…+n=

故

3.2 逆向思維方法

例2甲、乙、丙3個人各有銅錢若干枚，開始，甲把自己的銅錢拿出一部分分給了乙、丙，使乙、丙的銅錢數各增加了1倍；后來，乙也照著甲的方法做，拿出自己的一部分給甲和丙，使甲、丙的銅錢數各增加了1倍；最后，丙也照著這樣的方法做，使甲、乙的銅錢數各增加了1倍；這時3個人的銅錢數都是8枚.問原來甲、乙、丙3個人各有銅錢多少枚？

分析往往首先會考慮常規方法，直接列算式或列方程解答，但非常繁瑣復雜.如果能從結果出發逆向思考，利用倒推法便能求得結果.

解根據3個人最后的銅錢數都是8枚來列表倒推，如表1所示：

表1 甲、乙、丙的銅錢數

故原來甲有銅錢13枚，乙有銅錢7枚，丙有銅錢4枚.

綜上所述，抓牌游戲中蘊含的這2種數學思想方法無論在理論上還是實踐中都有廣泛的應用，具有很高的研究價值.

[1] 黃東坡.數學培優競賽新方法(七年級)[M].武漢：湖北人民出版社，2009.