談“橢圓、雙曲線標準方程”推導過程中教育價值的開發

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(江寧高級中學 江蘇南京 211100)

談“橢圓、雙曲線標準方程”推導過程中教育價值的開發

●陳立軍

(江寧高級中學 江蘇南京 211100)

建立曲線方程和通過方程研究曲線的性質是解析幾何的2個基本問題.因此，橢圓、雙曲線標準方程的推導理應是課堂教學的重點，但當前的課堂教學中仍存在淡化、簡化方程推導過程的教學行為，有的教師甚至假托圓錐曲線是高考中的熱點、難點之名壓縮方程過程的推導時間，盲目地把大量的教學時間用于方程的求解.其實，綜觀近幾年高考對圓錐曲線的考查，求方程多是解答題的第(1)小題，難度不大.難度主要體現在第(2)小題、第(3)小題，重點考查學生綜合運用數學知識分析問題、解決問題的能力.對于橢圓、雙曲線的標準方程，從結果即方程的表現形式上看，充分體現了數學的簡潔美，但其推導過程更蘊含著豐富的教育價值.教學實際中，如果我們能鉆得深一點、想得透一些，精心設計教學流程，便可以很好地開發橢圓、雙曲線標準方程推導過程的教育價值，從而有效提升學生的數學學習能力.

1 方程的推導過程可以提高學生對算理的認識

解析幾何因對學生的運算要求比較高，學生時有畏難情緒，這也是制約學生解題能力提升的一個重要原因.從根本上說，運算能力提高的關鍵是算理的提升.經過建立直角坐標系、設點坐標、列出等式、代入坐標的過程后，橢圓標準方程的推導難點是對復雜根式

(1)

的化簡.由于初中階段沒有詳細介紹含有2個根式的化簡，因此教學時應詳細給出化簡過程，教材中也列出了常見化簡方法的詳細步驟.即將方程(1)移項后兩邊平方，整理可得

兩邊再平方后整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

筆者認為，在課堂教學中，與直接化簡求得結果相比，更為重要的是以此化簡為載體，幫助學生從算理上提高認識.為此，教學參考中也對上述化簡過程給出了2點說明：(1)方程中只有一個根式時，需將根式單獨留在方程的一邊，然后兩邊平方；(2)方程中有2個根式時，需將它們分別放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項，再兩邊平方，整理后化為方程只含一個根式，即為(1).(1)是學生已有技能的總結，(2)體現了化歸的思想(化生為熟、化繁為簡)，但是沒有講清楚“為什么”.

其實，對根式

的化簡有多種方法(課堂上學生的反應也確實如此)，每一種方法不僅僅是公式法則的堆砌、形式的演繹，也揭示了數學形式化背后生動活潑的思維過程.教師應充分尊重學生的創造性勞動，哪怕僅是一個好的“念頭”，鼓勵學生大膽地嘗試各種方法，并幫助學生提煉出方法背后的“道理”，加深學生對數學本質的深度理解.

1.1 不同方法的簡述

方法1對

直接平方，這是課堂上學生的首選.但因為運算比較繁瑣，很多教師舍棄了.即使有學生堅持，教師通常也以這種方法運算太繁了，打斷了學生的回答，中止了學生的嘗試.如果堅持走下去，此法“道路雖曲折”，但“前途是光明的”.略解如下.由

2a2-(x2+y2+c2)

? [(x+c)2+y2]·[(x-c)2+y2]=

[2a2-(x2+y2+c2)]2，

左邊= [x2+y2+c2-2cx]·[x2+y2+c2+2cx]=

(x2+y2+c2)2-4c2x2，

右邊=(x2+y2+c2)2-4a2(x2+y2+c2)+4a4，

從而

4a4-4a2(x2+y2+c2)=-4c2x2,

即

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

方法2利用等差中項的概念.由

式(2)2-式(3)2后化簡得

則

即

以下同教材的處理.

后實現分子有理化，可得

則

與式(1)聯立，解得

以下同方法2.

1.2 不同方法的評述

正是由于初中階段沒有介紹復雜根式的化簡，含有一個根式的等式化簡是學生已掌握的技能，方法1處于學生的“最近發展區”，“道而弗牽、強而弗抑、開而弗達”，課堂上我們切不可“截斷”學生思維的“自然流淌”，移項后平方固然可喜，但它是“帽子里突然蹦出的一只兔子”.直接平方看似繁瑣，但若能引導學生仔細觀察，辨析哪些是參與“實質性運算”的對象，對未參與“實質性運算”的能否簡化表示，則以上的運算過程會有改變.令t=x2+y2+c2，則式(1)簡化為

2 方程的推導過程可以加深學生對概念的理解和對圓錐曲線性質的挖掘

2.1 加深對數學概念的理解

推導方程結束以后，其意義不只是為了一個簡單的結果，其背后還隱藏著豐富的教育價值有待開發.如果在后續圓錐曲線的學習過程中，教師適時地引導學生“回頭看”，重新審視推導過程，會有新的發現，促進學生對離心率e的理解，有助于學生形成圓錐曲線的統一定義.

繼而得

2.2 加深對圓錐曲線性質的挖掘

換一種思路，若對式(4)的兩邊平方，令b2=a2-c2，可將其變形得

即

即

x2+y2=a2(x≠±a),

表示以原點為圓心，a為半徑的圓.這樣獲得的性質和定義不僅能刻畫和描述圓錐曲線的特點，而且也有很好的解題功能.

3 方程的推導過程可以促進學生開展探究性學習

若聯系數學運算的基本形式，可以引導學生去類比探究以下一些問題：

探究5平面內到3個定點的距離之和為常數的點的軌跡是什么？

探究2的軌跡是圓或線段的中垂線，探究3的軌跡是圓或點或不存在，探究4的軌跡是2條直線.探究1的結論比較復雜，它是卵形線，卵形線是由意大利天文學家卡西尼命名的.坦率地說，如果不是在2011年北京市數學高考試題中首次出現了與此曲線相關的試題，很多教師也不知道這種曲線.探究5也有一些復雜，可以讓學生通過特例運用幾何畫板進行自主探究得到圖形，稱之為“圓角三角形”.

《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學經驗.”在這個教學理念的指引下，探究性學習越來越被認可，并在課堂上進行大膽的嘗試.

[1] 潘建國．在體驗中“做”數學——記一次橢圓概念新授課[J].數學通報，2006(5)：35-38.

[2] 蘇立標．探求以e2-1為定值的圓錐曲線問題[J].中學數學教學參考，2006(3)：21-22.

[3] 王慶豐．立足課本多思考深入發掘多驚喜——對“雙曲線及其標準方程”教學設計的一個局部思考[J].中學數學教學參考，2007(21)：25-26.

[4] 李振雷．橢圓定義教學實踐與思考[J].數學通報，2011(10)：62-64.