解三角函數(shù)題常見的幾種錯(cuò)誤

●謝黎靜 (杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 浙江杭州 310030)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn).高考的考查分值為20分左右，題目難度適中，學(xué)生易得分，但也易失分.究其失分原因，不是三角公式應(yīng)用不夠熟練，不是三角函數(shù)性質(zhì)掌握不全;不是題目入手太難，而是“亂花漸欲迷人眼”，即沒有注意三角函數(shù)題中的隱含條件.那么，怎樣挖掘隱含條件避免失分呢?筆者在完成三角函數(shù)這一教學(xué)內(nèi)容后，布置了幾道有關(guān)三角函數(shù)的題目，現(xiàn)把學(xué)生中常見的錯(cuò)誤解法歸類分析如下：

1 根據(jù)條件不能正確落實(shí)角的范圍

表明∠B是鈍角，從而∠A是銳角，cosA＞0.

分析錯(cuò)解應(yīng)用了正弦定理把邊AC，BC與∠B建立了函數(shù)關(guān)系，然后運(yùn)用三角公式建立y與x的函數(shù)關(guān)系.由于對(duì)銳角三角形內(nèi)角范圍這一隱含條件挖掘不夠，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.事實(shí)上，已知條件“銳角三角形”不僅直接表明∠B的范圍，也隱含表明∠A的范圍.

與例2類似，數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)過的題目還有：1.在銳角△ABC 中，BC=1，∠B=2∠A，則 AC的取值范圍是_______.

(2009年湖南省數(shù)學(xué)高考文科試題)

2.設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中 a=2bsinA，求 cosA+sinC 的取值范圍.

(2007年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2011年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

2 根據(jù)條件不能適當(dāng)縮小角的范圍

(2009年四川省數(shù)學(xué)高考文科試題)

因?yàn)棣?，β都是銳角，所以0＜α+β＜π，從而

因?yàn)檎?、余弦、正切函?shù)有各自的函數(shù)性質(zhì)，所以要縮小α，β的范圍，從而確定α+β的值.正解2利用正、余弦在不同象限上對(duì)應(yīng)的符號(hào)或值來判別角的大小.數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)過的與例3類似的題目有：

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

例4 已知 2sin2α +3sin2β =sinα，求 sin2α +sin2β的取值范圍.

3 對(duì)三角形邊關(guān)系認(rèn)識(shí)不清

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

因?yàn)閤＞0且128-(x2-12)≥0，所以

分析運(yùn)用面積公式和余弦定理，建立面積與邊之間的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)解題思路是正確的.由于沒有注意三角形邊之間大小關(guān)系這個(gè)隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.事實(shí)上，設(shè)BC=x，AC=x，直接表明這兩條邊的關(guān)系以及x＞0，且隱含表明三角形中兩邊之和要大于第三邊，即

正解 由分析得

由三角形三邊關(guān)系得

數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)過的與例5類似的題目還有：

(1)求△ABC的周長;

(2)求cos(A-C)的值.

(2011年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

綜上所述，要提高學(xué)生解題的正確率，除了要注意題中的隱含條件外，教師在選擇例題講解時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生挖掘隱含條件，避免各種錯(cuò)誤.通過課堂例題和課后作業(yè)進(jìn)行對(duì)比歸類，以期不再“物是人非眼迷離”.