利用過程性變式 創設探究性課堂

●童桂恒 (金華四中教育集團婺城中學 浙江金華 321025)

所謂“過程性變式”是指數學活動的有層次推進.這種層次性既可以表現為一系列的臺階，也可以表現為某種活動策略或經驗.在數學活動過程中，教師通過對數學學習對象動態的、內在的、有層次性的遞進，讓學生分步解決問題，并在解決問題的過程中積累多種活動經驗.

1 利用過程性變式，改進定理教學模式

在數學教學中，學生要學習大量的性質定理、判定定理和公式等，以往的數學學習常常是教師“告訴”定理公式，給出證明，然后通過練習做機械訓練.學生對這樣的教學模式感到枯燥乏味，學習興趣陡降.因此，在定理教學中利用過程性變式，創設探究性的學習環境，讓學生在數學活動中增添數學學習的興趣，在變式訓練中提高數學學習水平.

1.1 用情境問題引發興趣

案例1 “等腰三角形的判定”課堂教學設計

例1 如圖1，如何復原一個被墨跡浸漬的只剩一個底角和一條底邊的等腰三角形?

學生的3種方法分別是：

方法1：量出∠C度數，畫出∠B=∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點A.

方法2：作BC邊上的中垂線，與∠C的一邊相交得到頂點A.

方法3：對折.

圖1

評注“數學知識需要形式化的表述，而教師的責任是返璞歸真，運用適度的非形式化方法，將數學的學術形態轉化為教育形態，展現數學的魅力，激起學生學習數學的熱情”.幾何源于現實生活，對于初學平面幾何的學生來說，選擇適當的時機，讓他們從個體實踐檢驗中學習，可以提高學習的主動性.在這里，第1種方法正好可以得出本節課要學的判定定理，第2種方法則是今后線段垂直平分線性質的事實基礎，第3種方法則是等腰三角形對稱性的體現.在探究的活動過程中，等腰三角形的判定定理不是由教師給出，而是讓學生憑借經驗畫圖，那么畫出的圖形是不是等腰三角形呢?產生了問題，然后從問題出發，得出判定定理.這樣做，改變了學生被動接受的狀況，從而提高了學生的學習興趣和學習熱情.

1.2 多種證法激活創造力

例1的3種常規的證法如下：

(1)如圖2，作∠A的平分線，利用“角角邊”證明;

圖2

圖3

圖4

(2)如圖3，過點A作邊BC的垂線，利用“角角邊”證明;

(3)如圖4，作邊BC上的中線，“邊邊角”，不能證明.

例1的2種創造性的證法如下：

(1)如圖5，假定AB＞AC，由“大邊對大角”得出矛盾;

(2)如圖6，△ABC≌△ACB，應用“角邊角”進行證明.

圖6

圖5

評注由于這節課利用學生的畫圖經驗導出等腰三角形的判定定理，學生感到親切、自然，論證興趣很濃.第2種常規證法雖然是錯誤的，但學生在證明的過程中能發現問題，這種錯誤的嘗試可使學生吸取教訓，積累經驗，增長解題的能力，以后解決問題時可以少走“彎路”，避免盲目嘗試.2種不添輔助線的創造性證法，說明學習興趣的力量是不可低估的，學生學習的潛能是無限的.

1.3 用變式練習分步解決問題

通過不斷變換題目的條件，使不同數學學習水平的學生在數學活動中得到不同的發展.

(1)如圖 7所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C.能得出什么結論?

(2)若過點O作直線EF∥BC.圖8中有幾個等腰三角形?為什么?線段EF與線段BE，FC之間有何關系(學生編題)?

(3)若∠B與∠C不相等.圖9中有沒有等腰三角形?為什么?線段EF與線段BE，FC之間還有沒有關系(學生討論)?

圖7圖8圖9

評注數學知識本身是一個多層次的結構系統.上述變式練習實際上經歷了3步：在圖7中，學生直觀看到一個等腰三角形，只需簡單應用判定定理(直觀水平);在圖8中，直觀看到有3個等腰三角形，但2個陰影三角形必須應用判定定理進行推理論證(簡單推理水平);在圖9中，必須綜合應用判定定理和性質定理，才能得出線段間的關系(綜合應用定理水平).通過有層次的推進，使學生分步解決問題，積累了數學論證的活動經驗和策略.

人的認識往往是從特殊到一般然后又到特殊的過程，課堂教學的有層次遞進正是基于數學知識的結構和人的認識的這一規律，加上學生在學習準備上的差異性，教學的層次性使得不同學習水平的學生在教學進程的各個階段各有所獲，這是一種適合學生的教育.

2 利用過程性變式，彰顯概念建構過程

數學概念是對數學研究對象的高度抽象和概括，是導出數學定理法則的邏輯基礎，是構建數學理論大廈的基石.在概念教學中，教師要精心創設情景，讓學生像數學家那樣去“想數學”，使數學概念的形成過程成為發現、創新的過程.

案例2 “同類項”概念形成過程的教學

在同類項概念學習過程中，掌握同類項概念的本質屬性和非本質屬性是教學的重點，引導學生體驗同類項概念的形成過程是教學的難點.為此，筆者設計了以下6個環節.

賽一賽 求代數式-7x2+12x+6x2-9x+x2-2x-1的值.

(請一位學生說出一個關于x的1位(或2位)整數，教師和另一位學生比賽，看誰先求出正確答案.)

找一找 以下幾組代數式有什么相同點?

(1)2x和 -3x;(2)5st和7ts;(3)-0.5x3y2和y2x3;(4)ab2c和 -ab2c.

(2人一小組合作學習，教師引導質疑，總結這幾組代數式的相同點，引出同類項的概念.)

評注在概念引入時，教師要根據概念類型，為學生創設生動形象的教學情境.根據七年級學生的心理規律，通過“賽一賽”這個師生競賽的方式，能激發起學生的求知欲望，增強學生自主學習的內驅力.通過“找一找”的活動過程，達到展示知識形成過程，促進學生概念形成的目的.

想一想 5a2b與ba2是同類項嗎?為什么?(得出同類項的特點——2個“無關”：與字母順序無關;與系數無關.)

(得出同類項的特點——2個“相同”：所含字母相同;相同字母的指數也相同.另外，所有常數項也看做同類項.)

評注在概念形成之后，教師要引導學生對概念作進一步的探討，通過辨析變式和等價深化變式，使學生對概念有更加深刻的理解，讓學生既知其然，又知其所以然.

游戲過程：(1)把20張卡片分發給學生;(2)教師隨意叫一位學生，這位學生高舉自己的卡片;(3)其他學生觀察自己手中的卡片和這位學生卡片上的單項式，若認為它們是同類項的，也請站起來;(4)每個學生都是裁判，看看有沒有找錯朋友.

評注鞏固是概念教學的重要環節.心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘.因此，在教學中要根據學習目標和學習交流中所反饋的信息，精心選編題目，并選擇適合學生現狀的學習活動方式，讓學生在解答、變式、探索中，深化對概念的理解，促進認知結構的內化過程，培養學生創造性的思維品質.

3 利用過程性變式，提升例題教學價值

例題教學是數學課堂教學的重要環節之一，通過例題，學生對所學的概念、定理、公式、法則、方法和思想等，可以獲得更進一步的認識.同時，又可啟迪學生思維，示范學生解題，培養學生能力.因此，在例題教學中，若能啟發學生多角度、多層次、全方位地思考，并對例題進行變式、探索、推廣和引申，充分挖掘例題的潛在功能，則必能更有效地開發學生智力，培養創新意識，提高解題水平，充分發揮例題的教學價值.

案例3 一道經典習題的變式教學

玩一玩 游戲名稱：“找同類項朋友”.

游戲目的：培養學生主動參與、積極合作、勇于探究的精神，并鞏固同類項概念.

游戲材料：20張卡片，卡片上寫著單項式，如

圖10 圖11 圖12

例2 如圖10，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC為12 cm，高AD為8 cm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余2個頂點分別在AB，AC上.問正方形零件的邊長是多少?

變式1 如圖11，將例2中“正方形PQMN”改為“矩形PQMN”，其他條件不變.矩形的長和寬分別為多少時，所截得的矩形面積最大?最大面積是多少?

變式2 如圖11，一塊鐵皮呈現銳角三角形，它的邊BC為12 cm，高AD為8 cm，要求加工成的矩形一邊在BC上，另外2個頂點在AB，AC上.

(1)試問：這個三角形能否加工成一個面積為24 cm2的矩形零件?能否加工成一個面積為32 cm2的矩形零件?理由是什么?

(2)從第(1)小題的結論中，試猜想這個三角形內接的矩形面積與原三角形面積有何關系?不需要說明理由.

若從內接矩形和原三角形面積之間的關系考慮，不妨設△APQ的面積與矩形PQRS面積相等，于是有：

變式3 如圖11，在△ABC中，點P，N分別在AB，AC上，點 Q，M 在 BC上，四邊形 PQMN是矩形，若矩形PQMN的面積與△APN的面積相等，求PN ∶BC的值.

若將變式3所求的結論與已知條件調換，則有：

變式4 如圖11，在△ABC中，點P，N分別在AB，AC上，點 Q，M 在 BC上，四邊形 PQMN是矩形，若 PN ∶BC=2 ∶3，求矩形 PQMN面積與△APN的面積比值.

由于例2中△ABC的形狀不確定，不妨把△ABC設為直角三角形，令∠BAC=90°，有：

變式5 如圖 12，一塊鐵皮呈三角形，∠BAC=90°，要把它加工成矩形零件，使矩形一邊位于BC上，另外2個頂點分別在邊AB，AC上.試問：PS，BS，CR之間有何關系?為什么?

變式6 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB 長為1.5 m，面積為1.5 m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙2位同學設計加工方案，甲設計方案如圖13所示，乙設計方案如圖14所示.你認為哪位同學設計的方案較好?試說明理由(加工損耗忽略不計，計算結果可保留分數).

圖13 圖14 圖15

變式7 已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=80，BC=60，如圖 15 所示，把邊長分別為x1，x2，x3，…，xn的 n 個正方形依次放入△ABC 中，則第1個正方形的邊長x1= ______;第n個正方形的邊長xn= ______(用含n的式子表示，n≥1).

變式8 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3.

(1)如圖16，四邊形DEFG為Rt△ABC的內接正方形，求正方形的邊長;

(2)如圖17，三角形內有并排的2個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長;

(3)如圖18，三角形內有并排的3個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長;

圖16 圖17

圖18 圖19

圖20 圖21

(4)如圖19，三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于Rt△ABC，求正方形的邊長.變式9 如圖20，在直線y=-x+60與x軸、y軸所圍成的△AOB中，依次放入腰長分別為x1，x2，x3，…，xn的 n 個等腰直角三角形，則 x1=_______，xn= ______(或求 A1，A2，A3，…，An的橫坐標).

若把條件“等腰直角三角形”改變為“等邊三角形”，則有：

變式10 如圖21，在直線y=-x+60與x

軸、y軸所圍成的△AOB中，依次放入邊長分別為x1，x2，x3，…，xn的 n 個等邊三角形，試猜想第 n 個等邊三角形的邊長.

進一步，把“直線”這個條件改變為“雙曲線”或者“拋物線”，就有下面的變式：

nnn△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等邊三角形，邊 OA1，A1A2，A2A3，…，An-1An都在 x軸上.

(1)求點P1的坐標;

(2)求y1+y2+y3+…+yn的和.

圖22 圖23

［1］ 周成平.中國著名教師的精彩課堂(初中數學卷)［M］.南京：江蘇人民出版社，2009.

［2］ 顧泠沅，楊玉東.過程性變式與數學課例研究［J］.上海中學數學，2007(1/2)：1-5.