數學課堂教學重點的合理定位與實現

●吳增生 (仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

1 數學課堂教學重點定位中的主要問題

在很多課堂中，教學重點的定位出現明顯的偏差，導致了課堂學習時間的無謂浪費，降低了學生課堂學習的效率，其主要表現是：

1.1 平鋪直敘，沒有重點

沒有進行系統設計，只對教材進行粗淺解釋，這種情況在新教師身上表現較多.例如，在人教版新課標實驗教材7年級上冊“單項式”教學中，教師按照教材內容讓學生用含字母的算式表示若干問題中的數量關系，講述這些式子都是由數或表示數的字母相乘得到的積，給出單項式的概念，然后讓學生做“判斷是否是單項式”的練習;接著，介紹單項式系數和次數的概念，讓學生做“找單項式系數和次數”的練習.教師沒有設計合理的學習活動，讓學生經歷用數值算式和字母算式表示數量關系、從數值算式到字母算式的抽象過程;也沒有設計活動，讓學生從觀察式子的運算結構中形成單項式的概念.缺少了知識的形成過程，把大量的時間用在了“判斷是否是單項式”和“找單項式的系數和次數”練習上.沒有重點的課堂教學，變成了習題課，雜亂拼湊，沒有主題，索然無味，容易疲勞.

1.2 只見樹木，不見森林

第一階段的不等號認識可以為第二階段的列不等式提供知識支撐，此外，各階段的教學重點沒有互相聯系，不能形成支撐某一核心教育價值的相互融合和相互協調的關系.觀察整堂課，沒有體現學習活動的相互聯系，沒有體現“前面的學習活動是后面學習活動的基礎，后面的學習活動是前面的學習活動的自然延伸和發展”，缺乏課堂的整體性和層次性.

1.3 本末倒置，重點錯位

不同的學習內容承載著不同的核心教育價值，某些課中的重點在另外的課中不見得是重點.而教師在教學設計時往往把其他學習內容的重點確定為當前學習內容的重點，導致教學重點設置的偏差;還有一種情況是：關注一些細枝末節而忽視學習內容的核心價值，忽視大智慧，糾結小技巧，造成教學重點設計的錯位.例如，在“等腰三角形的性質和判定”基礎復習課中，教師把方程思想、分類討論思想作為達成發展性學習目標的教學重點，而沒有把發展空間觀念、幾何直觀和推理能力作為達成發展性目標的教學重點，從而導致了課堂設計重心的偏離.再如，在浙教版新課標實驗教材8年級上冊“認識不等式”教學中，教師設計諸如“6≤7，7≥7”的不等式讓學生判斷是否正確，學生在做練習“選擇適當的不等號填空：2 ____3”時，選擇了“≤”而非正確的“＜”.教師給出了絕對不等式、矛盾不等式、條件不等式來描述現實生活中的數量關系，事實上，用數軸描述簡單不等式的學習活動時間不到10分鐘.

2 合理定位課堂教學重點

教學重點的合理定位需要建立在理解數學、理解數學課程和把握學情的基礎上.

(1)所謂理解數學，指的是理解學習內容的數學本質屬性，理解學習內容在初等數學乃至現代數學中的地位與作用，理解相關知識的邏輯體系及相互聯系，理解學習內容的特點和價值.例如，不等式建立在數的大小比較的基礎上，是現代數學中序結構研究的基本出發點，現代數學中的序關系是在不等關系基礎上的抽象.不等式與等式具有相似性，不等式在科學和生活中具有廣泛的應用.不等關系往往涉及到范圍和區域，而相等關系則是不等關系所代表的范圍和區域的邊界，因此，相等關系是瞬時的、特殊的，而不等關系則是普遍的.不等式是描述現實生活中數量關系的重要模型，通過不等式的學習，可以讓學生對數量關系有更全面地認識，體會不等式的應用價值.

(2)所謂理解數學課程，主要指的是把握課程標準對學習內容的目標要求，理解學習內容在學生發展中的核心教育價值.例如，課程標準中不等式相關學習內容的學習目標是：

倪二泉的掌心，卷成小紙筒一樣的照片，慢慢舒展開來，卻是菊花那張不知道被傳閱了多少次、接受了多少撫摸與欣賞的照片！

①結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質.

②能解數字系數的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集;會用數軸確定由2個一元一次不等式組成的不等式組的解集.

③能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題.

④經歷用不等式表述數量關系的過程，體會模型的思想，建立符號意識.

⑤在運用數學表述和解決問題的過程中，認識數學具有抽象、嚴謹和應用廣泛的特點，體會數學的價值.

由此可見，在不等式概念學習中的基礎性目標是：結合具體問題，了解不等式的意義;會用數軸表示不等式的解集;能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式.發展性目標是：經歷用不等式表示具體問題中的數量關系的過程，體會不等式是描述數量關系的重要模型;體會不等式的抽象性和應用廣泛的特點;體會不等式的應用價值.不等式概念的核心教育價值是：在具體問題中了解不等式關系及不等式的意義，會用數軸表示不等式解的取值范圍，會根據實際問題中的數量關系列不等式，初步體會不等式是描述實際問題中數量關系的區別于方程的另一重要模型.因此，初中階段不等式概念教學的重點是：用(條件)不等式表示具體問題中的不等關系，用數軸表示不等式的解集.數值不等式是小學學習的內容，把教學重點放在數值不等式是忽視了初中與小學學段學習不等式的認知水平的差異，把教學重點放在介紹絕對不等式、矛盾不等式，則超越了學生的現有認知發展水平.

(3)所謂把握學情，指的是明確學生學了什么，會了什么，是否具有學習本內容的知識經驗基礎;學生學習本內容的一般過程怎樣;怎樣的學習活動是最有效的學習活動;通過學習，核心教育價值可能實現到什么程度.例如，小學一年級就開始有大小比較的學習，非負數值大小比較的學習，伴隨著小學數學學習的全過程.在有理數、實數學習中，又經歷了有理數、實數的大小比較，用數軸上點的位置關系描述(右邊的數比左邊的數大).因此，數值不等式是先前的學習內容，不是當前學習的重點內容，當前學習中的核心任務是討論含有未知數的不等式(條件不等式).學習不等式最有效的方法是與學習等式(方程)相比較，從比較相同點和不同點中獲得不等式意義的理解.

數學課堂教學的重點是落實學習內容的核心教育價值，以實現核心教育價值為中心，設計課堂中的主題學習活動，以主題學習活動為中心，進行適當的橫向拓展和縱向提升，兼顧非核心目標的達成，形成重點突出、層次清楚、協調平衡的課堂時空結構.這種合理定位教學重點的過程可以用圖1表示.

在確定教學重點時還應注意以下2點：

(1)分別確定基礎性目標和發展性目標的教學重點，并進行統籌協調，整合出本課的教學重點.在知識形成過程中著重體現發展學生數學認知能力的重點，如數學感知能力、表征能力、抽象概括能力、推理計算能力.在知識的應用過程中著重發展基本結構的識別能力和建構能力以及運用知識進行推理計算的能力，分析問題和解決問題的能力.

(2)數學課堂中的教學重點應少而精.一般來講，一節課的教學重點最多不超過2個(基礎性目標和發展性目標各1個).由于學習目標往往有多個，有時還難以取舍，這就意味著必須選擇最重要且達成可能性較大者作為核心目標，形成教學重點，并且對重點目標達成條件和達成的狀態進行具體描述，明確在什么條件下能達到什么程度，為主題學習活動的設計提供依據.如果確定的教學重點太多，從整堂課來看就顯得沒有重點，在課堂有限的學習時間內，能達成1～2個核心教育價值即可.

3 合理設計教學活動，有效實現教學重點

數學課堂核心教育價值的實現，需要設計有針對性的學習活動，有充分的認知活動空間和時間.如果沒有相應的學習活動，或者活動的空間和時間不足，則“落實核心教育價值、體現教學重點”就成為一句空話.例如，如果離開了用不等式表示實際問題中的數量關系，則落實“在具體問題中了解不等式的意義”這一教學重點就成為無根之木、無源之水，成為“空”的重點.那么，怎樣設計有針對性的學習活動，設置充分的空間和時間體現教學重點呢?

圖1

(1)以教材核心知識的形成和應用為基本線索，創設有針對性的學習認知活動.例如，函數的一般概念教學的教學重點是函數的概念，為減低學生的學習難度，人教版教材和浙教版教材都在前面設置了變量與常量的學習內容，人教版叫“變量”，浙教版叫“變量與常量”.變量與常量是函數這一核心概念的輔助性學習內容.變量與常量概念中，變量是核心概念，確定變量并用字母和含字母的式子表示變量及其關系是函數建模的基礎，而常量概念在后繼學習中的重要性比變量概念要遜色得多.變量與常量是基于變化過程的，因此，在具體的問題情境中理解變量與常量的概念是教學重點，而這一教學重點需要的是在實際的變化過程中的數量屬性(變與不變)的理解，而非某一具體函數解析式中變量與常量的辨別.但不幸的是，很多教師設計了要求學生判斷函數解析式中的變量和常量的練習，并拼命深挖，編制出相關練習，通過這些練習達成理解變量常量概念這一教學重點.如“指出下列函數中的變量和常量：y=4x，y=-x2+5x，s=πr2”等等.用這種純式子的判斷練習來實現“在具體問題中了解變量的意義”這一教學重點是不可能的，原因是：

①函數解析式是對函數關系的代數描述，是在已知變量、常量的基礎上對函數關系的代數解釋，因此，在解析式中找變量和常量，從邏輯上看是毫無意義的.

②離開了實際意義，說不清常量和變量是什么.例如式子y=4x+1，既可以表示一個二元一次方程，也可以表示一次函數，只有在認定x，y是變量的前提下，該式才表示一次函數.再如，在y=-x2+5x中，常量是什么?很難分清.很多教師想當然地把-1，5說成是常量，試想，如果把式子變成y=x(5-x)，常量又是什么?在“周長為10的變化的矩形中，一邊長為x，面積為y”中，邊長x和面積y是變量，周長10是常量.

③離開了變化過程講變量與常量，與教學重點“在具體的變化過程中了解變量的意義”是不匹配的.要在具體的變化過程中了解變量的意義，需要讓學生分析變化過程中的數量變化和對應關系，讓學生觀察變化過程從而獲得對變量的變化規律的理解，讓學生用適當的方法描述變量及其關系，感受變量的對應關系，從而為理解函數概念打下堅實的基礎，也在學習過程中積累函數建模的經驗.

(2)在匹配的數學學習活動中，把教學重點轉化為認知操作任務系列，為達成核心教育價值設置合理必要的空間和時間.例如，在本文前述的“認識不等式”教學中，教學重點是“在具體問題中了解不等式的意義，會用數軸表示簡單的不等式解集”，那么就需要設置讓學生用不等式表示實際問題中的數量關系(從簡單到復雜)，如“用不等式表示2個人的身高關系”、“用不等式表示蹺蹺板狀態”、“用不等式表示公路的限速標志”等，通過實際問題中的不等關系讓學生認識不等號和不等式.接著，設置“用數軸表示2個具體的數的大小關系、2個抽象的數的大小關系以及不等式x＞a，x＜a，x≥a，x≤a，a ＜x＜b，a≤x＜b”的任務，讓學生從具體到抽象地學習這些簡單不等式的數軸表示方法，體會簡單的數形結合思想.在此基礎上，設置用不等式表示實際問題中的數量關系，學習列不等式的基本方法，體會不等式是描述數量關系的重要模型，結合數軸，直觀地確定簡單實際問題中的不等式成立的未知數取值范圍.通過用不等式表示具體問題中的數量關系任務和用數軸表示簡單不等式解集的任務，體現教學重點，實現本學習內容的核心教育價值.再如，在“等腰三角形的性質和判定復習”中，教學的重點應該是“通過學生獨立回顧知識和組織知識，優化知識結構，通過運用性質判定解決問題，發展空間觀念、幾何直觀和推理能力”，那么就需要設計知識的回顧與組織活動，設置獨立的知識回顧和組織任務，來達成優化知識結構的目的.通過設置從等腰三角形結構單一到結構組合與結構隱含的練習，讓學生體會等腰三角形這一基本圖形的辨別、構造和變化，發展空間觀念和幾何直觀，并通過運用等腰三角形的性質和判定進行推理計算的練習，發展推理能力.方程思想和分類討論是初中數學中的重要思想，但不是本課的教學重點，因此，不能花很多時間進行說明，只要在少量具體問題中滲透即可.