簡談整點多邊形的存在性問題

●黃新民 (溫州市教育教學研究院 浙江溫州 325000)

0 前言

在方格紙上畫一個格點正方形(正方形的頂點在方格頂點上)，操作較簡單.如果要在方格紙上畫出一個格點正五邊形或格點正六邊形，請認真思考一下，動手畫一畫.

組合幾何是一個新興的數學分支，主要研究幾何元素的組合問題，其內容豐富多彩.許多組合幾何問題因其表述直觀而獨具魅力，它是目前初等數學中一個活躍的研究課題，整點問題是其中的一部分內容.關于整點多邊形的存在性問題有過許多研究，見文后所附的參考文獻.本文對整點多邊形存在性問題的研究作一綜述，主要介紹整點多邊形存在性研究的一些結果及其在三維空間中的推廣，并提出關于整點多邊形在三維空間中存在的一個猜想.

1 關于整點多邊形存在的一些結論

定義1 在平面直角坐標系中，把頂點坐標都是整數的多邊形稱為整點多邊形，也稱為格點多邊形.

整點正多邊形的存在性問題已解決(見文獻［2］，［6］，［7］)，結論是：

定理1 在平面直角坐標系中，不存在整點正n(n≠4)邊形.

若把條件放寬，去掉“等邊”，保留“等角”，再來觀察是否有整點等角n邊形存在，文獻［5］回答了該問題：

圖1

定理2 在平面直角坐標系中，不存在整點等角 n(n∈N 且 n＞2，n≠4，n≠8)邊形.

文獻［9］進一步推廣：

定理3 不存在其中一個角等于r°(r為有理數且 r≠45，90，135)的整點多邊形.

定理3表明一個多邊形是否為整點多邊形，與其內角度數是否為有理數密切相關.若其中一個內角度數為有理數但又不是45的整數倍，那么這個多邊形肯定不是整點多邊形.由此可見，整點多邊形是否存在，與它是否等角無關.因此，可以去掉“等角”這個條件，考慮“等邊”的情形.

除菱形外，是否還存在其他的整點等邊多邊形呢?答案是肯定的.在平面直角坐標系中可以畫出整點等邊六邊形、整點等邊八邊形等，如圖2和圖3所示.

圖2

圖3

試畫整點等邊五邊形、整點等邊七邊形等，發現總是不成功.猜想它與邊數的奇偶性有關，文獻［4］證明了：

定理4 在平面直角坐標系中，存在整點等邊2n邊形.

定理5 在平面直角坐標系中，不存在整點等邊2n+1邊形.

對于一般的多邊形，邊長滿足什么條件時，它是整點多邊形?這個問題很難回答，有待進一步研究.下面給出2個新的結論：

根據定理 7，當 k=1，2，3，4，5，…時，即可得到一系列邊長為連續自然數的整點三角形(3，4，5)，(13，14，15)，(51，52，53)，(193，194，195)，(723，724，725)，…

2 三維空間中的推廣及猜想

定義2 在三維空間直角坐標系中，把頂點坐標都是整數的多邊形叫做整點多邊形.

定理5在三維空間里能否推廣?換言之，在三維空間中，是否存在整點等邊2n+1邊形?當邊長取，時，可以分別構造出整點等邊三角形，如圖4和圖5所示.

圖4

圖5

注圖5中的正方體棱長為2，點A，B，C分別是3條棱的中點.

定理8［12］在三維空間中，不存在邊長為的整點等邊2n+1邊形，其中a為奇數.

定理9［12］在三維空間中，存在邊長為的整點等邊2n+1 邊形，其中 a=r2+s2+t2，r=s+t(r，s，t∈N).

進一步思考，若a為偶數，但不滿足條件“a=r2+s2+t2，r=s+t(r，s，t∈N)”，是否可以構造出邊數為奇數的整點等邊多邊形呢?

可見，定理9中的條件還可以削弱，有興趣的讀者可以作進一步研究.在這里，筆者提出一個猜想：

猜想在三維空間中，若偶數a可以表示成2個正整數的平方和或者3個正整數的平方和，則一定存在邊長為的整點等邊2n+1邊形.

圖6

［1］ 柯召，孫琦.初等數論100例［M］.上海：上海教育出版社，1980.

［2］ 嚴鎮軍.從正五邊形談起［M］.上海：上海教育出版社，1980.

［3］ 黃新民.整點多邊形的存在性問題［M］.杭州：浙江教育出版社，2010.

［4］ 黃新民.整點多邊形存在性問題［M］.中國初等數學研究文集.鄭州：河南教育出版社，1992.

［5］ 胡敬民.整點等角形問題［J］.麗水師專學報(自然科學版)，1984(1)：17-18.

［6］ 朱時.整點正多邊形問題［J］.廈門數學通訊，1981(2).

［7］ 顧忠德.整點正多邊形問題的推廣［J］.廈門數學通訊，1983(3).

［8］ 劉根洪，湯正誼.整頂點多邊形所圍整點個數的討論［J］.中學數學月刊，2004(2)：25-28.

［9］ 黃新民.有理角度正切函數值的無理性與整點多邊形問題［J］.數學函授，1986(3).

［10］ 黃新民.整點多邊形問題在n維空間中的推廣［J］.溫州師范學院學報(自然科學版)，1996(3)：24-27.

［11］ 黃新民.邊長為連續自然數的整點三角形存在性問題［J］.中學教學雜志，1996(3).

［12］ 黃新民.整點等邊多邊形問題在三維空間中的推廣［J］.中學教研，2002(2)：25-26.