通性通法與高考數學解題的萬能模式

●過伯祥 (浙江海洋學院數理與信息學院 浙江舟山 316000)

1 高觀點下的中學數學

數學是什么?“一切數學學科的決定性特點總是某種形式化的方法”(辛欽)，“數學為科學研究提供簡明精確的形式化語言”.從一定意義上說，數學是一門形式科學.《數學課程標準》與它的解讀中，也強調要這樣認識數學：“把數學看成是一系列數學地組織現實世界的人類活動，即用數學的思想與方法，不斷把與實際問題有關的材料進行整理和組織起來的活動.”《標準》中數學學習內容的6個核心概念：數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識、推理能力.其中說到，“符號表示是人類文明發展的重要標志之一，數學課程的一個任務就是使學生感受和擁有使用符號的能力”.

中學數學的主要形式是：方程、不等式、算式與函數式.概括地說，數學解題總是這樣兩大步驟：把問題進一步形式化(最終列出方程、不等式，算式、函數式);然后進行合乎數學規范的形式操作.

例1 設等差數列{an}(n≥1)包含1和.證明：{an}中任意3項均不構成等比數列.

分析本題解題過程的本質就是：首先，用形式符號表達出滿足條件的數列中的任意3項;然后，通過形式推理(這里用的是反證法)說明結論成立.

證明設ak=1，al=，數列的公差為d.

用反證法，設am，an，ar構成等比數列.據此列出算式，進行運算推導，得出矛盾am=an=ar，從而完成證明.事實上，

假定 am，an，ar構成等比數列，則

由此得

由此可推出M=N=R，即am=an=ar，矛盾.因此結論成立.

評注本例是一道證明題.形式符號設定，數列的任意3項表示出來后，過程中的大部分內容，即為(運用等式運算性質的)算式的形式推導.其中的要點是：選擇哪幾個量為主變量;過程中如何適當地運用變量代換，以簡化過程;主要借助于有理數加無理數的特殊性質引出矛盾，說明道理.

2 中學數學中的通性通法

“通性通法”最早是由美籍華人數學家項武義教授在主編一套初中數學實驗教材中提出來的.后來，這種提法就風行開了.然而很多人認為“常用多用的性質方法，就是通性通法”.因此，應該先對“通性通法”作一界定.

中學數學，特別是高中數學，有十多個系統領域.每一個領域中的內容，一般說，可以分為兩大部分：一部分是本領域專屬的新學的定義、性質與方法，即其自身獨特的概念、性質、符號體系與形式變換常用的方法技巧;另一部分是己學的通用常用的性質方法.這后一部分，“用通性通法操作”式子(方程、不等式、函數式)的原理、變換與運算，便是數學的通性通法.這樣的通性通法是確確實實存在著的.

多數數學問題需要通過方程求解;通常通過不等式求某變量的取值范圍;通過算式求值;通過函數研究變量的變化規律.因此，中學數學的四大基本形式是：方程、不等式、算式與函數式.

3 從笛卡兒模式到高考數學解題的萬能模式

(1)約三百七十多年前，近代著名的法國哲學家、數學家笛卡兒曾試圖要創造萬能的方法，來解決數理上的一切問題.他的這個“萬能方法設想”，畫成模式圖可以表示如下：

這樣一個常用的統一處理數學問題的方式，著名數學家波利亞后來把它叫做笛卡兒模式.

(2)通過分析大量的高考數學試題與高考模擬卷中的試題，發現高考數學解題中最常用的通法是：把問題的條件通過種種途徑，化為4種基本形式(方程、不等式、算式和函數式);然后，再對它們進行計算、變換、求解.

(3)又注意到：從高考數學命題的指導思想與原則的一系列提法：“發揮數學作為基礎學科的作用，既重視考查中學數學的掌握程度，又注意考查進入高校繼續學習的潛能”，命題“堅持多角度、多層次的考查;注重對基礎知識的考查;……同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現實性，重視試題設計的層次性，合理調控綜合程度”，“期望整卷難度系數控制在0.6～0.65之間;……考查內容，要求既有一定的覆蓋面，又突出重點內容和主干知識;……問題設計力求入口寬，有層次;……重視數學概念、數學本質、數學思想和解決數學問題的常規方法.”

(4)從高考試題的整個命題過程來看，它就是命題人員在命題指導思想與原則的指引與約束下，對供題人提供的題目，在命題審題會議上，就程序的多寡、難易與創新性等，進行評估、評價、討論、修改，在這樣的權衡、爭洽過程中，一步步地磨出來的.命題人員們磨什么?在整體的問題情境、內容范圍等確定后，就是磨小題與程序的具體安排與設計.考題，本來就是這樣“命”出來的，聰明的應考人也就應該順著這樣一條路去探索思考.

作者還查閱過笛卡爾《方法論》的各個版本，并己把它應用在如下的制表中.如今這張“新解題表”，是以笛卡爾的萬能方法設想為基干思想，仿照波利亞的“怎樣解題表”，適應高考數學試題程序化的結構特點而制成的.這是一份針對程序化試題編制的更好用的“怎樣解題表”(如圖1)，是笛卡爾萬能方法設想在現代中國(程序化考試題)的高考中的參考應用.

圖1

例2 如圖2，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A在點(-2，0)和(-1，0)之間(包括這2個點)，頂點C是矩形DEFG(包括邊界與內部，它內部的點的橫坐標在1與3之間;縱坐標在2與3之間)上的一個動點.求a的取值范圍.

分析笛卡兒萬能思路模式的2個步驟：(1)設定一個或幾個未知量與參量，把所有的條件都用方程、不等式表示出來;(2)通過消元、代換、運算、變換，設法解出這個混合組.關鍵是設哪幾個量為主變量，以及怎樣表示出各個條件的問題.

解法1 設 A(x1，0)，另一交點 B(x2，0).如圖 2，因為 a ＜0，x1為二次方程的小根，從而

圖2

于是，問題轉化為：

求a的取值范圍.

由式(1)，式(2)，得

由式(1)，式(3)，得

式(2)-式(4)，再兩邊平方得

由式(6)，式(7)得

解法2 考慮開口最大、最小這2種極端情形：以 D(1，3)為頂點，過點(-1，0)的拋物線為

以 F(3，2)為頂點，過點(-2，0)的拋物線為

評注本例是不等式組的求解.整個過程，用適當的符號列出式子后，主要就是形式符號算式的變換與推導.解法1雖是典型的形式推演，但它的運算推導途徑較難選擇，等價性的理由亦較含糊、隱晦.

(2008年浙江省數學高考理科試題)

上述式子全部相疊加，得

由 an＜1，化簡即得 Sn＞n-2.

上述(n-2)個式子交叉相乘得

又因為 T1＜T2＜T3，所以 Tn＜3.

4 對高考數學教學的指導意義

據此萬能思路，教師在教學中重點是分析，并要讓學生掌握常用的把條件轉化為方程、不等式的辦法;掌握常用的解方程、不等式組，變換推演算式、函數式的方法技巧;掌握常用的分解討論、映射轉換方法及其注意點.因為學生的困難往往在于：某幾個條件沒法把握，從而列不出與它相關的方程或不等式;或是解方程、不等式組，變換某個算式的某些特殊方法技巧掌握得不太好，臨場沒想到.

可以注意與預測到，創新試題主要就是情景創新與條件創新.方向可以預見，具體的內容很難猜測到.筆者深信，一些重點高中的名師，必有應對創新試題方面的不可輕易外傳的指導經驗.