高考中的拉格朗日中值定理

●吳旻玲 (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

在近幾年的數學高考試題中，經常遇到一些題目，雖然可以利用中學的數學知識解決，但是在高等數學中往往能找出相關的“影子”，也即所謂的“高觀點”試題.這樣的試題或以高等數學知識為背景，或體現高等數學中常用的思想方法.這類試題常受到命題者的青睞，成為高考中一道亮麗的風景，其中不乏以拉格朗日中值定理為背景的高考試題.拉格朗日中值定理是利用導數的局部性研究函數整體性的重要工具，它是溝通函數與其導數之間的橋梁，建立了函數值與導數值之間的定量聯系，因而可以用它來研究函數的性態.下面以2009年遼寧省數學高考理科第21題為例，并結合近幾年全國各地高考試卷中出現的以拉格朗日中值定理為背景的試題，探索該定理在中學數學中的應用.

1 一道高考題的兩種解法

(1)討論f(x)的單調性;

(2009年遼寧省數學高考理科試題)

1.1 解題分析

(1)略;

(2)證法1 由結論，知

因此，g(x)在(0，+∞)上單調遞增，故有

證法 2 不妨設點 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，原題即證 f(x)的任意一條割線的斜率kAB＞-1.由幾何圖形可知，只需證f(x)的任意一條切線的斜率kAB＞-1，即證f'(x)＞-1對x∈(0，+∞)恒成立，也即證

1.2 證法比較

證法1需要構造新函數來求解，構造函數g(x)=f(x)+x是本題的難點.事實上，可以從平時常遇到的一些結論進行聯想和分析.如：化率.要證平均變化率大于-1恒成立，從幾何圖形不難分析，只需證明瞬時變化率大于 -1，即f'(x)＞-1，這就是證法2.若能結合幾何圖形，證法2比證法1更容易想到和理解.

1.3 背景挖掘

在證法2的分析過程中可以發現，對于一個連續可導的函數來說，任意一條割線都可找到一條與其斜率相等的切線，這就是高等數學中的拉格朗日中值定理.下面介紹該定理：

若函數f(x)滿足如下條件：

(1)f(x)在閉區間［a，b］上連續;(2)f(x)在開區間(a，b)內可導，

本題就是以拉格朗日中值定理為背景而設計的高考試題.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，它建立了函數值與導數值之間的定量聯系，在微分學中占有極其重要的地位.導數是高中新課程新增的內容，也是高考考查的重點內容之一.函數與其導數是2個不同的函數，導數只反映函數在一點的局部特征.如果要了解函數在其定義域上的整體性態，就需要在導數與函數間建立聯系，微分中值定理就是起這種作用.

2 高考中的拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是高考試題設置高等數學背景的一個熱點素材.在近幾年的數學高考中，出現了不少含有拉格朗日中值定理的試題.這類試題常以不等式恒成立問題為基本切入點，具有一定的深度，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數學的學科特點，較好地甄別了學生的數學能力.下面以近幾年全國各地的數學高考試題為例，說明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中的應用，更好地體會用“高觀點”解題的優勢.

2.1 形如

例2 設函數f(x)=ex-e-x.

(1)證明：f(x)的導數f'(x)≥2;

(2)證明：若對所有x≥0，都有f(x)≥ax，則a的取值范圍是(-∞，2］.

(2007年全國數學高考理科試題)

分析(1)略.

由拉格朗日中值定理知，即證f'(x)≥2.

2.2 形如|f(x1)-f(x2)|＞a|x1-x2|

例3 已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)設 a ＜ -1，如果對任意 x1，x2∈(0，+∞)，都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立，求a的取值范圍.

(2010年遼寧省數學高考理科試題)

(1)略.

(2)解 由拉格朗日中值定理，知必存在x0∈(0，+∞)，使得

2.3 形如

(2006年四川省數學高考理科試題)

分析(1)不妨設0＜x1＜x2，即證即證 f'(x)在(0，+∞)上單調遞增，也即證f″(x)≥0.

(2)略.

3 教學啟示

“高觀點”試題起點高，但落點低，試題的設計雖然來源于高等數學，但都可以用初等數學知識來解決.“高觀點”試題有利于區分考生的能力，在今后的高考中仍將出現.因此，我們應不斷改善教學，提高學生的應變能力和創新能力，才能更適合新課程的要求.

3.1 課堂教學，重視過程

有些教師為了追求所謂的效率，在課堂上將知識發生發展的過程一帶而過，將重點放在解題應用上，通過大量的解題訓練來達到效果，這是典型的應試教育.事實上，知識是如何發生發展的、公式是如何推導的、定理是如何證明的，這些過程的探究，對培養學生分析問題、解決問題的能力是至關重要的，對學生能力的提升也起著潛移默化的作用.因此，教師要改變課堂教學重結論、輕過程的做法，對知識形成的來龍去脈要搞清楚，進行探究性學習，培養學生獨立分析問題、解決問題的能力.

3.2 解題教學，重視方法

“授人以魚，不如授人以漁”這句話啟示我們，教學的目的不只是讓學生掌握具體的知識與技能，更重要的是教會學生學習的方法，要讓學生學會如何去學習.會學習的學生，在遇到從未見過的題目時，才能沉著冷靜，細心觀察，仔細分析，用自己所掌握的知識和方法去解決.因此，教師應改變解題教學中過分追求機械化的做法，不要熱衷于歸納題型、記憶方法，如果光靠機械訓練，那么在高考中遇到“高觀點”試題是不能應對的.

3.3 居高臨下，重視能力

“高觀點”試題在考查知識的基礎上，更側重于考查各種能力，其中以考查思維能力為核心.這類試題選拔的不再是對知識死記硬背、生搬硬套的學生，而是具有運用數學知識和方法解決問題的能力的學生.因此，教師可充分運用自己具備的高等數學知識，結合對中學數學的教學實踐，居高臨下地編制一些適合學生認知水平的“高觀點”試題，在平時的學習中逐漸培養學生運用數學知識解決問題的能力，同時也能鍛煉他們的思維能力，激發他們繼續學習數學的潛能.

3.4 自我發展，重視科研

對于從事高中數學教學的教師，只有加強教育教學理論學習和高等數學知識的再學習，才能更好地以高觀點來指導中學數學教學.教師要用新課程標準來審視常規教學，樹立終身學習的意識，在實踐中不斷學習，不斷對自己的教育教學進行研究和反思，對自己的知識與經驗進行重組，使自己的知識結構具有前瞻性，在反復思考中使自身的專業素質、教學能力和科研水平都得到提高，從而實現中學數學教師的自我發展、終身發展.

［1］ 華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京：高等教育出版社，1991(3)：156-158.

［2］ 李云杰.“高觀點”下的中學數學的實踐與認識［D］.福建：福建師范大學，2005(10)：40-46.

［3］ 肖羅保，鄧丹.由2009年浙江省一道數學高考題引起的思考［J］.數學教學，2010(2)：41-43.

［4］ 黃妮，李娟.高考試題中的高等數學背景探析及應對策略［J］.中學數學研究，2009(8)：19-23.

［5］ 李惟峰.拉格朗日中值定理在中學數學中的應用［J］.數學教學通訊，2008(8)：39-40.

［6］ 連春興.高等數學對中學數學教學作用初探［J］.北京教育學院學報，2000，14(3)：68-71.