探究一類特殊的伸縮變換

●楊亢爾 (武嶺中學 浙江奉化 315500)

普通高中課程標準實驗教科書《數學(選修)》4-4第1講“坐標系”給出平面直角坐標系中坐標伸縮變換的定義如下：

此時稱曲線C與C'相似，相似比為λ，稱點O為相似中心(如圖1所示).

圖1 圖2

圓錐曲線在相似變換下有以下性質：

性質1 任一圓錐曲線經過相似變換后離心率不變.

證明由于拋物線的離心率都為1，性質1對拋物線顯然成立.

同理可得雙曲線在相似變換后的離心率不變.

如果把圓看作離心率為0的圓錐曲線，那么其離心率也保持不變.

綜上所述，任一圓錐曲線經過相似變換后的離心率不變.

性質2 離心率相等的圓錐曲線都相似.

過極點O引任一直線 l：θ=θ0交曲線 C1，C2于點 P1，P2，則

性質3 若2條圓錐曲線相似，則它們相應的焦點、中心、頂點都可作為相似中心.

圖3 圖4

證明由性質2知，離心率相等的圓錐曲線的焦點可作為相似中心.

下面先證橢圓的頂點可作為相似中心.如圖3所示，讓離心率相等的2個橢圓的一個相應頂點重合，過該點的軸所在直線也重合，設這2個橢圓的中心為 Oi(ai，0)(i=1，2)，則它們的曲線方程為

對于拋物線x2=2p1y與x2=2p2y，如圖4所示，從它們的頂點出發任作一直線l，分別交2條拋物線于點 P1，P2.設直線 l的方程為 y=kx，易得P1(2p1k，2p1k2)，P2(2p2k，2p2k2)，于是

事實上，該題中2個橢圓的中心為它們的一個相似中心.

圖5 圖6

例3 如圖7所示，已知拋物線y2=2p1x與y2=2p2x，過原點引3條直線與2條拋物線分別相交于點 A1，A2，B1，B2，C1，C2，求 證：△A1B1C1∽△A2B2C2.

圖7

由平面幾何知識知△A1B1C1∽△A2B2C2.