三角形面積之比的結論的簡證與拓展

●葉國芳 (嵊州市第一中學 浙江嵊州 312400)

(2)當 x，y，z全不為 0，即點 O 不在△ABC 各邊所在的直線上時，

對結論(1)的證明，文獻［2］與文獻［1］的方法略顯生硬，本文給出較自然、簡便的證法，并將結論拓展.

1 對結論(1)的簡證

對x+y+z≠0的證明，文獻［2］中已給出 x，y，z中有一個為0的情形，也很容易證明.本文對x，y，z全不為0的情形，給出簡證.

故O是△A'B'C'的重心，于是

圖1

故O是△A'B'C'的重心，于是

圖2

設點B到AA'的距離為h，點B'到AA'的距離為h'，則

(3)若 x，y，z中有 2 個為負，不妨設 x＜0，y＜0，z＞0，將 y移項后，便得 -y＞0，即 x＜0，-y＞0，z＞0，同情形(2)，同理可得結論成立.

2 結論的拓展

a3，a4不全為 0)，則(2)當點O不在四面體ABCD各面上時，從而a4=0，與題設矛盾.

a1，a2，a3，a4中有 1 個或 2 個為 0 的情形，也很容易證明，這里不再贅述.下面證明 a1，a2，a3，a4全不為0時的情形：

①若 a1，a2，a3，a4＞ 0，則點O在四面體ABCD內，如圖3.

圖3

故O是四面體A'B'C'D'的重心，因此

②若 a1，a2，a3，a4中有1 個或2 個或3 個為負數，仿此亦可證得(此處略).

(2)當 a1，a2，a3，a4全不為 0 時，顯然有

［1］ 康小峰.一道調研試題的探究［J］.數學通訊，2010(3)：27-28.

［2］ 宋廣志，邢友寶.三角形面積之比的結論修正與簡證［J］.數學通訊，2010(16)：39.