例談一元二次函數的取值問題

☉浙江省杭州師范大學附屬中學 謝黎靜

一元二次函數是初中教材中的重點內容，但難度要求不高，到高中進行了深化，在學習中我們發現不光它的內容應用廣泛而且它滲透了一些很重要的數學思想方法（如數形結合、分類討論等），而其中最能體現一元二次函數上述特點的是：解決一元二次函數在區間上的取值問題.此知識的考查在高考中很常見.一元二次函數在區間上的取值問題可以通過對稱軸和區間是否含有參數細分成四種類型，下面筆者通過一些例題來加以說明.

一、對稱軸和區間都不含參數的類型

例1求函數（fx）=x2－2x+2在區間［0，1］上的最小值.

分析：此函數的對稱軸為x=1，結合圖像可知函數在區間［0，1］上單調遞減，則函數的最小值為f（1）=1.

二、對稱軸不含參數、區間含參數的類型

例2函數f（x）=x2－2x+2在區間［t，t+1］上的最小值為2，求t的值.

分析：區間位置會隨著t變化，而函數的對稱軸位置和函數圖像開口方向都確定，結合函數圖像此題應按對稱軸在區間的左側、中間、右側三種情況進行討論.

解：函數的對稱軸為x=1.

當對稱軸在區間左側，即t＞1時，函數在區間［t，t+1］上單調遞增，即fmin（x）=f（t）=t2－2t+2=2，則t=0（舍去）或t=2.

當對稱軸在區間內，即0≤t≤1時，函數的最小值在頂點處取得，即fmin（x）=f（1）.又f（1）≠2，則0≤t≤1舍去.

當對稱軸在區間右側，即t＜0時，函數在區間［t，t+1］上單調遞減，即fmin（x）=f（t+1）=t2+1=2，t=1（舍去）或t=－1.

綜上：t=2或t=-1.

例3函數f（x）=x2－2x+2在區間［t,t+1］上的最大值記為h（t），求h（t）的最小值.

分析：區間位置會隨著t變化，而函數的對稱軸位置和函數圖像開口方向都確定，結合函數圖像此題應按對稱軸在區間的左側、中間、右側三種情況進行討論.當然又由函數對稱性可知，函數圖像開口向上，對稱軸在區間中間時，區間端點離對稱軸的距離大小影響最大值取到的可能性.

解：函數的對稱軸為x=1.

當對稱軸在區間左側，即t＞1時，函數在區間［t，t+1］上單調遞增，即h（t）=f（t+1）=t2+1.

當對稱軸在區間右側，即t＜0時，函數在區間［t，t+1］上單調遞減，即h（t）=f（t）=t2－2t+2.

當然對于開口向下的一元二次函數求最小值的分類討論也與上例類似.

三、對稱軸含參數、區間不含參數的類型

例4函數f（x）=x2－2tx+2在區間［0,1］上的最大值為2，求t.

分析：此函數對稱軸為x=t，位置不確定，區間位置和函數圖像開口方向確定，結合函數圖像此題應按對稱軸在區間的左側、中間、右側三種情況進行討論，當然又由函數對稱性可知，函數圖像開口向上，對稱軸在區間中間時，區間端點離對稱軸的距離大小影響最大值取到的可能性.

解：此二次函數的對稱軸為x=t.

當對稱軸在區間右側，即t＞1時，函數在區間［0,1］上單調遞減，即2=fmax（x）=f（0），而f（0）=2恒成立，則t＞1.

四、對稱軸和區間都含參數的類型

例5已知函數f（x）=t＞0），求函數f（x）的最小值.

分析：此函數中含有絕對值，要求最值，先需對絕對值進行討論，再求相應的最值.

總之，事實上，通過對稱軸和區間是否含有參數的分類，任何一個一元二次函數在閉區間上的最值問題都可以歸類到以上某種類型，而以上每種類型中最值問題的求解都離不開對函數圖像開口方向和對稱軸與區間相對位置的把握，并運用數形結合和分類討論的思想方法.