淺談反函數的性質及應用

☉江蘇省丹陽市第五中學 王金玲

☉江蘇省丹陽市第五中學 王金玲

反函數是函數一章的重點，它的性質如定義域、值域、單調性、奇偶性、圖像的對稱性等常被作為高考考查的重點，本文總結了反函數的幾個常用性質，記住它們可以直接解決反函數的一些常見問題，從而避免復雜的運算，達到事半功倍的效果.

若函數y=（fx）（x∈A，y∈C）存在反函數y=f-（1x），則有下列性質：

①y=f-1（x）與y=f（x）的定義域與值域互換；

②y=f（x）?x=f-1（y）（x∈A，y∈C）；

③y=f-1（x）與y=f（x）的圖像關于直線y=x對稱（而不是y=f（x）與?x=f-1（y）的圖像關于直線y=x對稱）；

④函數y=f（x）（x∈A，y∈C）的圖像關于直線y=x對稱的充分必要條件是f-1（x）=f（x）；

⑤若函數y=f（x）（x∈A）為單調函數，則y=f-1（x）（x∈C）也是單調函數且單調性一致，即原函數與反函數在相應區間上具有相同的單調性；

⑥若函數y=f（x）（x∈A）為奇函數，則y=f-1（x）（x∈C）也是奇函數（注意偶函數是沒有反函數的）；

⑦f-1［f（x）］=x（x∈A，A為定義域），f［f-1（x）］=x（x∈C，C為值域）；

⑧若y=f-1（x）與y=f（x）的圖像有交點，則交點必在直線y=x上或交點關于直線y=x對稱；

⑨若函數y=f（x）（x∈A）為增函數，則y=f（x）與其反函數的圖像的交點必在直線y=x上；

⑩（a，b）在y=f（x）的圖像上?（b，a）在y=f-1（x）的圖像上.

例1（2007年高考天津）函數y=log2（x+4）（x＞0）的反函數是_________.

解：先求原函數的值域，它就是反函數的定義域，由x＞0得x+4＞4.

則y=log2（x+4）＞log24=2，原函數的值域是（2，+∞），它就是反函數的定義域，再由原式解出x=2y－4，反函數為f-1（x）=2x－4（x＞2）.

例2 （2008年高考重慶）設P（3，1）為二次函數f（x）=ax2－2ax+b（x≥1）的圖像與其反函數y=f-1（x）的圖像的一個交點，則（ ）.

解：因P（3，1）在反函數圖像上，由性質⑩得P′（1，3）在原函數圖像上，又已知P（3，1）也在原函數圖像上，將P（3，1）和P′（1，3）分別代入f（x）=ax2－2ax+b（x≥1）中，得

故選C.

此解法避免了求反函數的繁瑣過程，既靈活又簡練.

解：y=f（x）的圖像為雙曲線，顯然其對稱中心為P（－a，1），則其反函數y=f-1（x）的圖像的對稱中心為P′（1，－a）.

又函數y=f（x）的圖像關于直線y=x對稱，由性質④可知f（x）=f-1（x）.

則P與P′也重合，－a=1，即a=－1.

分析：由題意知，只需求出y=f-1（x+1），進而求出y=g（x），可求得g（5）的值.

結論錯誤，錯在哪兒呢？ 我們知道y=f（x）與y=f-1（x）互為反函數，但y=f（x+1）與y=f-1（x+1）則不互為反函數，對這點一定要理解.

實際上，可以這樣求：由y=f（x+1）兩邊用f作用得x+1=f-1（y）即x=f-1（y）-1.

故y=f（x+1）的反函數是y=f-1（x）-1.

（2）正是由于（1）的方法，我們可以給出本題的另一個更好的解法.由y=f-1（x+1）兩邊用f作用得x+1=f（y），則x=f（y）－1，故y=g（x）=f（x）-1.