聚焦高考平面向量題

☉湖南省郴州市湘南中學 曾曉芳

一、近幾年平面向量考題的特點

特點一：考小題，重在基礎.有關平面向量的小題，其考查的重點在于基礎知識：其中，平面向量數量積、加減運算是考查的重點，有關向量共線，向量垂直，向量的模，坐標運算等內容的試題都突出了對平面向量基礎知識的考查.

特點二：考大題，與其他知識結合.

有關平面向量的大題，經常與三角、圓錐曲線、函數等結合，與三角函數相結合的試題難度不大，屬中檔題，與圓錐曲線、函數相結合的試題，屬中等偏難，主要考查學生對基本知識，基本方法，基本技能的理解，掌握和應用情況.

特點三：考方法，常體現數形結合的思想方法.

向量的坐標表示實際上就是向量的代數表示.在引入向量的坐標表示后，使向量之間的運算代數化，這樣就可以將“形”和“數”緊密地結合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉化為大家熟悉的代數運算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當的坐標系中，賦予幾何圖形的有關點與平面向量具體的坐標，體現了數形結合的思想.

二、考題聚焦

1.考查向量的概念、向量的基本定理

有關向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中等.

2.考查向量的運算

命題形式主要以選擇題、填空題型出現，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標運算，有時也會與其他內容相結合.

例2 若向量a=（3，m），b=（2，-1），a·b=0，則實數m的值為（ ）.

解析：a·b=6-m=0，所以m=6，答案：D.

例3 在平面直角坐標系xOy中，點A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）.

解析：本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數量積，考查運算求解能力.

（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則：E為B、C的中點，E（0，1）.又E（0，1）為A、D的中點，所以D的坐標為（1，4）.

故所求的兩條對角線的長分別為BC=4

3.向量與三角函數的綜合問題

命題以三角函數作為坐標，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內容相結合，也有向量與三角函數圖像平移結合的問題，屬中檔偏易題.

4.平面向量在平面幾何中的應用

解析：本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎知識，屬于難題.

評注：近幾年的各地高考卷中總可以看到平面向量在平面幾何中的應用的身影，且均屬于中等題或難題，應加強平面向量的基本運算的訓練，尤其是與三角形綜合的問題.

解析1：如圖2所示：設PA=PB=x（x＞0），∠APO=α，則

評注：本小題主要考查向量的數量積運算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法——判別式法，同時也考查了同學們綜合運用數學知識解題的能力.

5.平面向量與解析幾何的綜合

平面向量與解析幾何的綜合問題由來已久，多是以解析幾何為載體，向量作為條件融入題設條件中.向量與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，其解題策略就是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算，溝通點與點之間的坐標關系.三種題型都可涉及.

評注：本題考查待定系數法求雙曲線方程，考查平面向量的數量積的坐標運算、二次函數的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力.