淺談2011年高考題中出現的數形結合

☉浙江省諸暨市湄池中學 毛淑萍

數形結合思想是一種很重要的數學思想.數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面，把數量關系的研究轉化為圖形性質的研究，或者把圖形性質的研究轉化為數量關系的研究，這種解決問題過程中“數”與“形”相互轉化的研究策略，就是數形結合的思想.數形結合思想就是要使抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來.在使用的過程中，由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化.在一維空間，實數與數軸上的點建立一一對應關系；在二維空間，實數對與坐標平面上的點建立一一對應關系.特別是集合、函數、不等式、數列、向量、解析幾何、導數與積分等能夠用圖形表述的知識點，就要用數形結合形象化，高考在選擇題、填空題側重考查數到形的轉化，在解答題中，考慮推理論證的嚴密性，突出形到數的轉化.下面談談數形結合思想在2011年高考中的體現.

一、利用函數的圖像解答問題

例1（陜西理）函數f（x）=-cosx在［0,+∞）內（ ）.

A.沒有零點 B.有且僅有一個零點

C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點

分析：利用數形結合法進行直觀判斷，或根據函數的性質（值域、單調性等）進行判斷.

解： 令f（x）=-cosx=0，則.設函數y=cosx，它們在［0,+∞）上的圖像如圖1所示，顯然兩函數的圖像的交點有且只有一個，所以函數f（x）=在［0,+∞）內有且僅有一個零點.應選B.

二、利用導數研究圖像

例2（浙江文）設函數f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R），若x=-1為函數f（x）ex的一個極值點，則下列圖像不可能為y=f（x）的圖像的是（ ）.

解析：設F（x）=f（x）ex，則F′（x）=exf′（x）+exf（x）=ex（2ax+b+ax2+bx+c）.

由x=-1為f（x）ex的一個極值點，得F′（-1）=e-1（-a+c）=0，即a=c.Δ=b2-4ac=b2-4a2.

當Δ=0時，b=±2a，即對稱軸所在直線方程為x=±1；

三、利用不等式表示的平面區域解答問題

例3 （陜西文）如圖3，點（x,y）在四邊形ABCD內部和邊界上運動，那么2x-y的最小值為________.

分析：本題為線性規劃問題，采用數形結合法解答.解答本題的關鍵是確定目標函數過哪一個點時取得最小值.

解：目標函數z=2x-y，當x=0時，z=-y，所以當y取得最大值時，z的值最小；移動直線2x-y=0，當直線移動到過點A時，y最大，即z的值最小，此時z=2×1-1=1.

四、解析幾何問題常常數形結合

例4 （湖北理）將兩個頂點在拋物線y2=2px（p＞0）上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形的個數記為n，則（ ）.

A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3

解析：根據拋物線的對稱性，正三角形的兩個頂點一定關于x軸對稱，且過焦點的兩條直線傾斜角分別為30°和150°，這時過焦點的直線與拋物線最多只有兩個交點，如圖4,正三角形的個數記為n，n=2，所以選C.

五、數形結合在平面向量中的應用也是頻頻出現

當然，2011年高考中的數形結合問題還有很多，幾乎遍及各個知識點，限于篇幅，不再一一舉例了.