一類向量考題的快速解法初探

☉江蘇省鎮江市丹徒高級中學 吳海軍 邱紅英

從近幾年的各省高考中向量的考題來看，對向量的考查主要集中在判斷三角形的形狀，判斷點所處的位置，判斷動點的軌跡，利用其幾何意義解題等方面，盡管常以小題形式出現，但往往讓考生們無從下手，可見其重要地位.

這里我們來探討一下2008年浙江卷的第9題.

例1（浙江卷9）已知a、b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0最大值是（ ）.

分析1：向量問題是數形結合思想體現最突出的問題，所以我們嘗試利用幾何意義解題.

解法1：由（a-c）·（b-c）=0，得（a-c）⊥（b-c）.

又a、b互相垂直，則a、b、a-c、b-c構成的四邊形是圓內接四邊形，且c恰好是四邊形的對角線.當c是直徑

取得最大值，此時圓內接四邊形是以a、b為鄰邊的正方形，所以有

分析2：這道題用幾何意義來解雖然計算量小，但是很多學生的思維水平和分析能力遠遠達不到這樣的高度，很難將“兩組向量垂直”與“圓內接四邊形”聯系起來.在這種情況下，我們不妨試試坐標法.

解法2：a、b是平面內兩個互相垂直的單位向量.

建立平面直角坐標系，設a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y）.

a-c=（1-x，-y），b-c=（-x，1-y）.

由（a-c）·（b-c）=0，得（1-x）（-x）+（-y）（1-y）=0.

所以向量c的起點（即坐標原點）在圓上，終點也在圓上，因為原點O到圓上的點的最大值等于圓的直徑，所以有

解法2運用坐標法，只需建系，設坐標，直接利用坐標運算找出向量c的終點坐標的軌跡方程.整個解題過程周密嚴謹，說服力強，可靠性高，是做題能力不強的學生的首選方法.

反思：通過以上三種方法，我們發現遇到此類問題只要用坐標法就可以化復雜為簡單，省卻了用圖像法分析向量間的關系的諸多麻煩.

分析：本題與例2相似，只是問法有所不同，下面我們給出一種解法，另兩種解法大家可以自行驗證.

例4 （2011年高考新課標全國卷文13）已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k=________.

分析：這道高考題如果用坐標法解，就非常簡單.

解：根據題意，不妨設a=（1，0），b=（0，1），則a+b=（1，1），ka-b=（k，-1）.因為a+b與向量ka-b垂直，所以（a+b）·（ka-b）=0，即k-1=0，解得k=1.

解題反思：考場上的時間是寶貴的，能夠在高考緊張的狀態下尋求快捷有效的解題方法是高考制勝的關鍵.面對向量題，要想在短時間內通過作圖利用幾何意義，需要較高的思維能力.而采用坐標法，其優勢是明顯的，尤其是解例2、例3這類題型，對相對點所提的位置要求只有一個，在這樣的情況下，設△ABC的任兩個頂點為特殊點，求出第三個點，都能夠用邏輯嚴謹的過程解決相應問題.當然，創新無止境，研究不可淺嘗輒止，圍繞這一方法，我們在嘗試的過程中肯定還會遇到新的問題，讓我們一起探究下去吧！