流程圖（程序框圖）高考題型例解

☉湖北省水果湖高級中學 伍先軍 趙 宇

在所有實施新課改的省份的高考數學試題中，都不約而同地出現了流程圖（程序框圖）.

圖1是2011年全國新課標高考數學試題中的第5題：

執行圖1所示的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（ ）

A.120

B.720

C.1 440

D.5 040

編制流程圖（程序框圖）是利用計算機編程解決問題的關鍵性的一步.流程圖就是用來描述解決問題的操作步驟的.它由功能圖標和流程線組成.流程圖的功能圖標有4種：圓角矩形、平行四邊形、矩形、菱形，分別表示不同的功能.流程線的一端帶有箭頭，表示程序運行的走向（見圖2）.

解流程圖（程序框圖）題，不外乎有兩種基本的解法：

①機械模擬，②模塊歸納.

所謂“機械模擬”，是指我們按照流程線的走向，一步一步地忠實地模擬計算機操作，得到最終結果.一般適用于數據規模較小、功能單一的程序.

所謂“模塊歸納”，是指我們把一個較大的復雜的程序，劃分為一個或多個功能相對獨立的較小的子模塊，分析每個子模塊的入口數據、出口數據，以及這個子模塊對入口數據進行了怎樣的操作從而得到出口數據的，這樣，我們就歸納得出：這個子模塊的實質，就是一個從輸入數據到輸出數據的映射關系，即函數，可抽象地記為：

輸出變量（或中間變量）=f（輸入變量1，輸入變量2，…，輸入變量n）.

圖2

表1

若干個小的子模塊再組成一個大的功能模塊，最終，我們就能掌握整個程序的總體功能，再用數學的方式解決，寫出程序運行結果.對于一些功能較復雜、數據規模較大的大中型程序，這種“模塊歸納”的方式是比較合適的.進行模塊歸納時，要特別注意某些變量的初值和終值（統稱為端點）對輸出變量（或中間變量）的影響，在歸納得出函數關系后，要返回到流程圖中去進行端點校驗.

解高考流程圖題的根本方法：

【簡單題】只需機械模擬即可.

【稍難題】先機械模擬理清算法實質，再模塊歸納得出函數關系（或不等式），最后端點校驗以確保正確.

【變式題】在掌握機械模擬和模塊歸納兩種方法后隨機應變.

解流程圖題四十字口訣（原創）：

鉛筆作指針，箭頭永向前.

表格當內存，舊值換新顏.

決策看條件，循環是關鍵.

輸入和輸出，函數來相連.

下面以2011年全國新課標高考數學試題第5題為例說明.

從流程圖（見本文開頭）的“開始”圖標開始，順著流程線走，從現在開始，我就變成一臺計算機了！我用左手拿一支鉛筆，筆尖指向當前即將執行的語句（相當于語句指針），右手拿一支筆，在表格中即時記錄、修改變量的值.

左手鉛筆指向“輸入N”，現在我遇到了一個字母N，N是什么？N就是一個變量，我先在草稿紙上畫一個表格，在表頭寫上變量的名字N（見表1），當做計算機存儲空間中的一個存儲單元，現在輸入N的值是6，在N的下面寫上6.

下一句：左手鉛筆指向語句“k=1，p=1”，這本是兩句，合在一起寫了.現在遇到了兩個新的變量k和p，把這兩個變量的名稱也寫入到表格的表頭中，現在本語句執行后它們的值都為1了，在它們的名稱下都寫下1.

繼續！左手鉛筆指向語句p=p·k.這是賦值語句，其中的“=”稱為賦值號，完全不同于數學中的等號，它表示將“=”右邊的表達式（可以是一個常量數據，或者是一個變量，也可以是一個表達式，本句是表達式p·k）的值（計算后），賦給“=”左邊的變量.因此，“=”左邊只能是變量，不能是常量或表達式.

那么，計算機是如何執行p=p·k的呢？先計算“=”右邊的算術表達式p·k的值：從存儲空間中讀取變量p的當前值為1（讀取操作不改變變量的值），讀取變量k的當前值為1，在CPU（中央處理器）中計算1·1，結果為1，再將結果1寫入（賦給）“=”左邊的變量p所在的存儲空間，現在p的值被改為1了（即使它原來的值就是1，計算機仍會執行寫入操作，寫入操作會改變變量的值）.此時，劃掉此前的值1，寫上新值1.

繼續！左手鉛筆指向決策圖標：判斷k＜N是否成立，計算機讀取變量k的當前值為1，變量N的當前值為6，計算關系表達式1＜6的值，顯然1＜6是成立的，計算的結果是真（用“是”、“真”或“True”等表示），程序此時轉向“是”分支，執行k=k+1（左手鉛筆指向此句）.同樣，這也是一條賦值語句，先計算k+1的值：讀取k的當前值為1，在CPU中計算1+1，結果為2，再將結果2寫入到變量k，故k的值改為2了（劃掉此前的值1）.

繼續！再次執行p=p·k，讀取p的值為1，k的值為2，計算1·2，得2，將結果2賦給（寫入）變量p，即p的值改為2了（劃掉此前的值1）.

繼續！判斷k＜N是否成立，計算機讀取變量k的值為2，變量N的值為6，計算關系表達式2＜6，顯然2＜6是成立的，計算的結果是真，程序繼續執行“是”分支，執行k=k+1，先計算k+1的值：讀取k的值為2，2+1得3，寫入到變量k，故k的值改為3了（劃掉此前的值2）.

如此繼續執行，你會發現：賦值語句p=p·k，條件判斷k＜N，賦值語句k=k+1，這3條語句被反復執行了多次，這種結構，在流程圖中構成了“環形”，在計算機語言中稱為“循環結構”.顯然，這種循環結構必須要有結束退出的時候，否則，計算機就會陷入“死循環”，這是程序設計者必須注意的.

你可以不厭其煩地一步一步地模擬計算機執行下去，直到k=N，此時k＜N不成立了，就轉向“否”分支，輸出p的值為720.

那么，怎樣提高解題效率呢？換言之，如果本題輸入的N的值更大，你能較快地得出答案嗎？

關鍵在于流程圖中的“環形結構”，也就是循環結構.在循環結構中往往有兩種功能的語句：“關鍵運算”和“條件控制”.所謂“關鍵運算”是指輸出變量（本例為p）參與的運算，本例即p=p·k.所謂“條件控制”是指循環條件（本例即k＜N）中的變量（本例為k）參與的運算，本例即k=k+1.通過這兩種功能的語句，你可以得出這段循環語句的功能就是連乘（注意變量p的初值必須為1，變量p常稱為累乘器），乘數從k=1到k=N，每次增加1（這里的變量k常稱為計數器），然后觀察循環之前計數器的初值和循環結束時計數器的終值，重點分析計數器的初值和終值是否參與了關鍵運算（端點校驗），最后得出結論：這段程序計算的是p=1*2*…*N（即N的階乘N！），現在無論輸入的N值是多少，你都可以迅速地用數學的方法計算結果了.這就是前述的“模塊歸納”.