圓錐曲線動(dòng)弦的“保值性”

☉江蘇省灌云縣楊集高級(jí)中學(xué) 李 昌

圓錐曲線的許多性質(zhì)不僅優(yōu)美而且和諧.文［1］得到了圓錐曲線中關(guān)于動(dòng)弦的性質(zhì)1.

性質(zhì)1過(guò)圓錐曲線上一定點(diǎn)P任作兩條動(dòng)弦PA、PB，當(dāng)這兩弦的斜率之積、斜率之和或者傾斜角之和三者中有一個(gè)為定值時(shí)，動(dòng)弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)或有定向.

此性質(zhì)動(dòng)靜結(jié)合，很優(yōu)美，但不具和諧性！因?yàn)闂l件中的動(dòng)弦有兩條，且它們?cè)诜较蛏洗嬖谀撤N靜態(tài)，而結(jié)論中的動(dòng)弦只有一條，其靜態(tài)也不完全體現(xiàn)在方向上.由此想到：是否可以找到兩條直線，它們的方向存在與條件相對(duì)應(yīng)的靜態(tài)呢？

結(jié)合性質(zhì)1，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)弦AB過(guò)定點(diǎn)Q時(shí)，直線PQ和曲線在點(diǎn)P處的切線l與動(dòng)弦PA、PB在方向上具有一致的定值；動(dòng)弦AB有定向時(shí)，動(dòng)弦AB和曲線在點(diǎn)P處的切線l與動(dòng)弦PA、PB在方向上也具有一致的定值.據(jù)此，既能使條件的定值在結(jié)論中得到保全，又能使定點(diǎn)定向歸為統(tǒng)一，結(jié)論更優(yōu)美和諧.故將其稱為圓錐曲線動(dòng)弦的“保值性”，即：

性質(zhì)2過(guò)圓錐曲線上一定點(diǎn)P任作兩條動(dòng)弦PA、PB，設(shè)圓錐曲線C在點(diǎn)P處的切線為l，用kPA表示直線PA的斜率，αPA表示直線PA的傾斜角，其他類似.

（1）當(dāng)kPA·kPB=t（t為定值）時(shí)，動(dòng)弦AB所在直線若過(guò)定Q，在kPQ存在時(shí)，滿足kPQ·kl=t，動(dòng)弦AB若有定向，在kAB存在時(shí)，滿足kAB·kl=t；

（2）當(dāng)kPA+kPB=t（t為定值）時(shí)，動(dòng)弦AB所在直線若過(guò)定Q，在kPQ存在時(shí)，滿足kPQ+kl=t，動(dòng)弦AB若有定向，在kAB存在時(shí)，滿足kAB+kl=t；

（3）當(dāng)αPA+αPB=α（α為定值）時(shí)，動(dòng)弦AB所在直線若過(guò)定Q，則αPQ+αl=α，若有定向，則αAB+αl=α.

下面利用文［1］的結(jié)論以拋物線和橢圓為例進(jìn)行證明，雙曲線中的證明類似.

1.朱其錄，申后坤.圓錐曲線動(dòng)弦的一個(gè)性質(zhì).數(shù)學(xué)通報(bào)，2002，11.