善用對稱 化繁為簡
——例談“對稱”操作在物理解題中的運用

陳金秀

（南京市雨花臺中學 江蘇 南京 210012）

對稱法解題，不僅能免去許多繁雜的數學計算，還能使問題的物理實質得以更清楚地展現，求解一些看似無法求解的問題.在具體的情境中如何充分利用好“對稱”？以下幾例可以從操作的層面給出一些啟示.

1 時間反演 構造出一個簡單熟悉的運動

【例1】如圖1所示，一段由斜軌和半圓環連接起來的光滑軌道放在豎直平面內，環半徑R＝0.6 m.現要在水平地面上某處C拋出一小球，使它恰好能從半圓環頂端B平滑地切入，沿半圓環滑行后再滑到斜軌上高h＝4.4m的A處停下，試求C處的位置、拋射速度v的大小和拋射速度與水平方向的夾角β（g＝10m／s2）.

圖1

解析：本題中，由于拋射位置、速度的大小和方向均未知，從正面求解較困難，可以采用時間反演的方法，“逆行”運動過程，原題就變成“從高h處靜止滑下的小球，經過半圓環做平拋飛出，求小球落地的位置、落地速度大小和方向”的問題.

設小球從B飛出做平拋的速度為vB，小球落地點距環底的距離為s，小球在C點的速度為v，小球在C點的速度和水平方向間的夾角為β.

對AB段，由動能定理得

對BC段，由平拋知識有

對C點，由平拋知識有

代入數據解得

總結：時間反演，即構造一個和原過程在時間上對稱的“逆過程”，把一個原本相對復雜且陌生的斜拋運動，轉化為相對簡單且熟悉的平拋運動.任何一個運動都可以通過時間反演找到它的逆運動.

2 順勢延展 拼接出一個簡單對稱的過程

【例2】如圖2所示，兩塊豎直放置的光滑彈性板A，B相距為d，在板間某點P以速度v0，與水平方向間夾角α斜向上拋出一個光滑彈性小球，經與兩板各碰一次后恰好返回P點，試問從拋出到返回的時間是多少？

圖2

解析：小球從B板反彈后做斜拋運動與A板相碰，再從A反彈做斜拋返回P點，整個運動軌跡由3段斜拋運動的拋物線組合.如果根據斜拋運動規律算出這3段時間很復雜.

如圖3所示，把小球從P點拋向B板和從A板反彈回P點的兩個過程，以B，A兩板為鏡面作出對稱圖形，根據彈性碰撞的速度特點，它們的鏡像恰能與兩板中間的一段運動構成一條拋物線，這條拋物線兩端點間的水平距離為2d.

圖3

小球在兩板間做斜拋運動時的水平分量

因此，小球從拋出到反彈回P點經歷的總時間為

總結：利用軌跡鏡像對稱的特點，順勢對運動進行“平滑延展”，幾段瑣碎的過程變為一個完整、簡潔的過程.鏡像對稱在反射和碰撞中有廣泛的應用.

3 由因索果 尋找出一個簡單易行的算法

【例3】如圖4所示，正電荷均勻分布在半球面上，在O處產生的電場強度等于E0.兩個平面通過同一條直徑，夾角為α，從半球中分出一部分球面，試求所分出的這部分球面上（在“小瓣”上）的電荷在O處的電場強度E1.

解析：本題可以用微積分的方法算出，但計算較為繁瑣.

圖4

根據半球面左右、前后的對稱性可知，上半球面的電荷在O點產生的場強E0必豎直向下.另外，再從對稱性考慮容易明白，張角為α的“小瓣”和張角為（π－α）的“大瓣”在O點產生的場強E1和E2必定位于它的橫向和縱向對稱的平面上，如圖5所示，所以，E1和E2相互垂直，由矢量圖易得

圖5

總結：“對稱性原理”指出，原因中的對稱性必反映在結果中.此例場源電荷分布的空間對稱性，必在相應空間各點的電場強度、電勢等表示電場特性的物理量中得以反映.

4 對稱分割 剖析出一個簡單等效的電路

【例4】如圖6所示，電路中6根電阻值都為r的電阻絲組成一錐形網絡.試求每兩個頂點之間的總電阻.

解析：對于任意兩個頂點，電路結構完全類似，因此可任選兩個進行計算.

圖6

如圖7所示，設電流從b點流入，c點流出.由于電路結構上的對稱性，a，d兩點的電勢必定相等，ad電阻絲中無電流.因此，電路可簡化為圖8的電路.于是，可立即算出b，c兩點間的電阻值為.

圖7

圖8

總結：對稱的電路結構中，必流過對稱的電流，形成對稱的等電勢點，在等電勢點處進行分割，可以有效地對糾結的電路結構進行剖析和簡化.

仔細觀察，在各種紛繁的物理問題中，對稱性隨處可見，如振動中的中心對稱、粒子在電磁場中對稱的軌跡等等，文中所舉的例子只是冰山一角，還有更多的對稱需要我們去利用.