對回旋加速器中帶電粒子在磁場中運動軌跡間距問題的再思考

李維兵 金邦建

（南通高等師范學(xué)校 江蘇 南通 226100） （溫州市第十五中學(xué) 浙江 溫州 325011）

文獻［1］提到回旋加速器中帶電粒子在磁場中運動軌跡的間距越來越小的結(jié)論.筆者讀后，深受啟發(fā)，但該文對這一結(jié)論的推證過程不是很明確，還有值得思考的地方.

其推證如下：設(shè)加速電壓為u，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，在滿足非相對論的條件下，加速n次獲得的動能為

在磁場中軌跡半徑為

加速n＋1次獲得的動能為

在磁場中軌跡半徑為

圖1

由圖1可以看出相鄰軌跡之間的距離為

由上式可知當(dāng)n越來越大時，Δr越來越小.

實際上，回旋加速器的工作原理是非常復(fù)雜的，隨著帶電粒子速度增大，粒子通過兩D型盒間隙的時間減少，則要求粒子在半圓上的時間增長，要求B減小，所以，實際上的磁場并不是均勻的.在高中階段，我們對此做了近似處理，只需分析簡化后的模型，由于兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計，加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用.故高中階段所涉及的回旋加速器中的磁場是不變的.由于每次粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)時所對應(yīng)的圓心在變化，在同一個D型盒中，相鄰兩個運動軌跡間距離并不相等.所以，我們是無法定量討論相鄰運動軌跡間距問題，但在這兒可以分析下面兩個問題：

（1）同一盒中相鄰的軌跡與極板的相交點的間距問題（而不是相鄰運動軌跡間距問題）；

（2）同一盒中相鄰軌道的半徑之差問題.下面就從這兩個方面進行分析.

1 同一盒中相鄰的軌跡與極板相交點的間距

如圖1，由動能定理第1次加速

進入磁場后的半徑

當(dāng)由A1開始進行第2次加速后，射入磁場時

以此類推，可求得

因此，如圖1，圓心右側(cè)相鄰的軌跡與極板相交點的間距

式中n＝1，2，3，…

隨著半徑的不斷增大，圓心右側(cè)相鄰的軌跡與極板相交點的間距之比

如圖1，圓心左側(cè)相鄰的軌跡與極板相交點的間距

式中n＝1，2，3，…

隨著半徑的不斷增大，圓心右側(cè)相鄰的軌跡與極板相交點的間距之比

可見，隨著半徑的不斷增大，相鄰的軌跡與極板相交點的間距越來越小，在中心的兩側(cè)不對稱，其同一圓周對應(yīng)的間距也不相等.若第1次向右偏轉(zhuǎn)，則對應(yīng)的間距左側(cè)比右側(cè)大；反之，第1次向左偏轉(zhuǎn)，則對應(yīng)的間距右側(cè)比左側(cè)大.

2 同一盒中相鄰軌道的半徑之差

設(shè)k（k∈N＊）為同一盒子中粒子運動軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為rk和rk＋1，則

Δrk＝rk＋1－rk

在相應(yīng)軌道上粒子對應(yīng)的速度大小分別為vk，vk＋1，電壓為u，由動能定理知

由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運動的向心力，知

整理得

因u，q，m，B均為定值，令

由上式得

相鄰軌道半徑rk＋1，rk＋2之差

同理

因為rk＋2＞rk，比較Δrk，Δrk＋1得

即隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差Δr減小.

綜上所述，在中學(xué)階段，對回旋加速器的模型分析后，發(fā)現(xiàn)隨著軌道半徑r的不斷增大，同一盒中相鄰的軌跡與極板相交點的間距越來越小，同一盒中相鄰軌道的半徑之差也越來越小.

1 張波.談回旋加速器中帶電粒子在磁場中運動軌跡的間距問題.物理通報，2011（7）：129