力系平衡是剛體平衡的充要條件嗎

2012-08-16 14:07:22于世新越彩霞劉國榮

物理通報 2012年8期

于世新越彩霞劉國榮

（遼源市第五中學吉林遼源 136200）

1 問題的提出分析和結論

文獻［1］是國內高校物理專業主流教材之一，其中關于剛體的平衡有如下的敘述：

處于靜止的剛體既沒有平動，也沒有轉動.因此，剛體平衡的充分必要條件是它所受的合外力為零，對任意一個參考點的合外力矩為零，即

矢量式（1）和（2）各相當于3個分量式，后者包含了“必須對任意方向的轉軸都成立”的意思.這樣的力系稱為零力系，零力系的條件式（1）和（2）稱為剛體的平衡方程.

文獻［2，3］亦有類似的說法.

文獻［4］關于剛體的平衡有如下的敘述：

作用在剛體上的力系，總可以化為經過質心的一個單力及一力偶，而由剛體運動微分方程，即質心運動定理

及對質心的轉動定理

知前者將決定剛體的質心如何平動，后者決定剛體相對于質心如何轉動.剛體平衡時，必須滿足下列平衡方程

即諸外力的矢量和為零和諸外力對任意一點力矩的矢量和亦為零.

從以上敘述中能看出，文獻［1～3］均認為諸外力的矢量和（主矢）為零和諸外力對任意一點力矩的矢量和（主矩）為零是剛體平衡的充要條件，而文獻［4］中雖未明確指出，但從“剛體平衡時，必須滿足下列平衡方程”的用詞上，應該理解為必要條件而非充要條件.

筆者認為，文獻［1～3］對剛體平衡條件的敘述是錯誤的，其錯誤在于混淆了力系平衡的充要條件和剛體平衡的充要條件，而沒有注意到剛體平衡除了要求力系平衡，還要滿足一定的初始條件.一個明顯的例子就是，某一剛體不受力，當然滿足力系平衡條件，但是可以繞靜止（或勻速運動）的質心軸做勻角速轉動，即不是處在平衡狀態.關于這一點，早在1949年，文獻［5］中就有明確的論述：

作用在剛體上的空間力系的平衡條件，或者這些平衡條件的特殊情形，一般說來，不能作為物體在這些力系作用下的平衡條件.以后在剛體動力學中，我們指出，剛體在力系平衡的條件下是可以運動的.

可以看出，力系平衡只是剛體平衡的必要條件.如果要使力系的平衡條件同時是剛體的平衡條件，那就必須假定，剛體在受到力系作用以前處于平衡狀態，即剛體平衡的充分必要條件是，在初始時刻剛體靜止，力系的主矢和對任意點的主矩在某時間段內等于零.

2 對剛體平衡充要條件的證明

剛體的平衡包括靜止和做勻速運動，對后一種情況，可選一相對于剛體靜止的慣性參考系，這時剛體仍可看作是靜止的.對剛體平衡充要條件的證明主要有以下3種方法.

2.1 矢量力學方法

必要條件［6］：剛體靜止，則其質心加速度為零，剛體對任意點的角速度始終為零，角動量當然不變.根據質心運動定理，外力的矢量和（主矢）為零；根據對定點的轉動定理，對任意點的主矩為零.故力系的主矢和對任意點的主矩均為零是剛體平衡的必要條件.

充分條件［6］：若原來靜止的剛體受外力的矢量和為零，則質心加速度為零；又若外力對質心的力矩和為零，根據對質心的轉動定理，對質心的角動量不變，且仍為零，導致角速度不變，且仍為零，于是剛體繼續保持靜止.這是剛體平衡的充分條件.

充要條件：從以上看出，剛體平衡的必要條件是力系的主矢和對任意點的主矩均為零，而原來靜止的剛體平衡的充分條件是外力的矢量和（主矢）以及外力對質心的力矩和為零.想把它敘述成充要條件，必須把必要條件和充分條件的表述統一起來.這不但容易做到，而且這樣做會導致對問題的理解更加深刻.因為若對于質心，MC＝0，則在F＝0的條件下，對于任意點，合力矩M都等于零.所以，F＝0和對任意點M＝0又是剛體平衡的充分條件.因為F＝0和MC＝0是基本方程式，而對任意點的M＝0是由F＝0和MC＝0推導的，這也正是求解剛體平衡問題時最多只能列出6個獨立方程的原因.

需要補充的是，當剛體做定軸轉動時，如果對軸的外力矩為零，則剛體做勻速轉動，這叫做轉動平衡.但轉動平衡并不是真正的平衡，因為首先它不滿足平衡的定義（剛體是一個質點系，剛體平衡時其中每一個質點也必須平衡，勻速轉動時除轉軸外，其他的質點并不平衡）；其次，還可能不滿足F＝0的條件（很多工科教材正是據此討論定軸轉動時軸的動反力）.只有當轉軸為慣量主軸時，才能滿足F＝0的條件，叫做動平衡，動平衡也不是真正的平衡.當剛體做定點轉動時，如果無外力矩，當剛體繞慣量主軸轉動時，轉動是動平衡的，不存在驅使轉動軸改變方向的趨勢，角速度大小也不變.當剛體并不是繞慣量主軸轉動時，轉動不是動平衡的，存在著驅使轉動軸改變方向的趨勢，并且因為沒有軸承加以抵制，這趨勢實際上也就實現了，從而剛體的轉動軸是變的，這正是歐勒－潘索情況.因此，無外力矩剛體的定點轉動狀態也不是平衡狀態.

以上證明是在剛體已靜止的初始條件下作出的，沒有從動力學普遍方程加以演繹，證明是略顯單薄的.