平頂 －高斯光束通過圓形與三角形圍成孔的衍射＊

張亞萍 顧菊觀 楊 平 陳小燕 沈曼辰

（湖州師范學院理學院 浙江 湖州 313000）

1 引言

Cori提出的一種新的平頂 －高斯光束模型［1］，其光強特點為均勻的平頂分布，在激光光學中得到了廣泛的研究與應用.目前，國內外主要研究平頂－高斯光束相對焦移、M2因子、K參數以及在圓孔、矩孔硬邊光闌等中的衍射特性［2～5］，而對圍成孔硬邊光闌的衍射研究很少見，光束通過圓形與三角形圍成孔的研究在文獻中還未曾見過.基于這些情況，文中從其表達式出發，結合Collins公式和Matlab軟件，研究并分析了平頂 －高斯光束通過圓形與三角形圍成孔的硬邊光闌光學系統的衍射特性.

2 平頂 －高斯光束通過帶有圓形與三角形圍成孔的硬邊光闌光學系統的傳輸

在直角坐標下，三維平頂 －高斯光束的場分布在入射平面（x1O1y1）處可用下式表示［5，6］

式中E0是振幅；N，M分別是平頂 －高斯光束在x，y方向階數 （N＝0，1，… 及M＝0，1，…）；ωx，ωy分別為平頂 －高斯光束在x，y方向的束腰寬度.

對于三維的情況，近軸ABCD光學系統的Collins衍射積分公式為［6～8］

式中略去了exp（－ikz）.

將式（1）代入式（2），可得三維平頂 －高斯光束的衍射積分公式為

因三角形的非對稱性，近似解析的傳輸公式無法用復高斯函數展開或其他方法求得，故利用Matlab中辛普森積分方法，直接對式（3）進行數值積分［9］.

3 數值模擬分析

平頂 －高斯光束在階數大于10以后，光強分布圖樣變化不大，其光強頂部呈平面狀，光強分布如圖1所示，故稱為平頂 －高斯光束.在Matlab環境下，對式（3）進行數值積分模擬，模擬時假設束腰在孔面上，衍射屏為圓形與三角形圍成孔，且圓心與三角形的外心重合，如圖2.其中參數λ＝632.8nm，ωx＝ωy＝1mm，N＝10，M＝10［3，6］.

圖1 N ＝10，M ＝10平頂 －高斯光束的光強分布

圖2 圓形與三角形圍成孔

3.1 衍射光強I與傳輸距離z的關系

圖3對應于半徑R＝0.9mm的圓形與三角形（外接圓為r＝0.4mm，0.6mm，0.8mm）圍成孔，數值模擬平頂 －高斯光束通過圍成孔后的自由傳輸情況.由圖3知：

（1）3個孔的衍射結果在傳輸距離z較小時，震蕩明顯，即明暗變化顯著，符合菲涅耳衍射特性.隨傳輸距離z的增大，都存在菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射轉化，轉化點后衍射特性與夫瑯禾費衍射特性一致，即明暗震蕩現象消失，一直保持亮斑；

（2）菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射轉換點隨三角形外接圓半徑增大（衍射孔徑減小）而靠近衍射屏，即菲涅耳衍射區域縮小；

（3）衍射光強隨三角形外接圓半徑增大而減弱.

對于平頂 －高斯光束通過不同半徑的圓形與三角形圍成孔的自由傳輸特性，其數值模擬的方法及結果與上述類似.

圖3 圓形（R＝0.9mm）與外接圓半徑不同的三角形圍成孔的情況下，光強分布與傳輸距離的關系

3.2 衍射光強I與x和y的關系

圖4對應于半徑R＝0.9mm的圓與外接圓半徑r＝0.8mm的三角形圍成孔，數值模擬平頂 -高斯光束通過圍成孔后的自由傳輸特性情況.

由圖4知：

（1）圖4（a）、（b）表示菲涅耳衍射區內傳輸距離z＝100mm，200mm的x，y軸方向上的衍射圖樣.由圖4知，z＝100mm，200mm處的衍射圖樣變化明顯；圖4（c）、（d）表示夫瑯禾費衍射區內z＝1 500 mm，2 000mm的衍射圖樣，衍射圖樣形狀基本保持不變，光強變弱；以上兩點分析結果與3.1結果相符，也與菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射特點相符；

（2）菲涅耳衍射區z＝100mm，200mm的衍射有多峰現象，觀察屏中心的亮斑與泊松亮斑相似［10］，夫瑯禾費衍射區z＝1 500mm，2 000mm 的衍射只有單峰現象，傳輸距離z越遠，中心處的衍射光強越弱；

（3）不同傳輸距離處，x，y軸方向上的菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射圖樣都不具有對稱性，這與圍成孔的三角形在x，y軸方向上的非對稱性密切相關.

圖4 平頂 －高斯光束通過R＝0.9mm的外圓與外接圓半徑r＝0.8mm的三角形圍成孔衍射，不同觀察面上對應光強在x，y軸方向上的分布圖樣

4 結論

文中對平頂 －高斯光束通過圓形與三角形圍成孔的衍射特性進行了研究.數值模擬結果表明衍射特性與孔徑大小密切相關，通光孔徑越大，菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射轉換點越遠離衍射屏，即菲涅耳衍射區域越大，整體衍射光強越強，模擬結果與理論分析相符合.另一方面，夫瑯禾費衍射區的觀察面上只有單峰現象，傳輸距離越遠，中心處的衍射光強越弱；菲涅耳衍射區內觀察面上有多峰現象，觀察屏中心的亮斑與泊松亮斑相似.再者，圍成孔中三角形在x，y軸方向上的不對稱性決定了菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射圖樣的不對稱性.

文中所用方法和所得結果可以進一步推廣用于其他激光光束.通過不同形狀其他衍射屏的衍射研究和計算模擬，如橢圓環孔、矩形與三角形圍成孔等不規則衍射屏，具有重要的實際指導意義.上述衍射特性的研究，對于理解菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射具有一定的參考價值.對于利用其他數值積分求解，如高斯積分、復合梯形積分、快速傅里葉變換積分，有待近一步比較、研究.

1 F.Cori.Flattened Gaussian beams.Opt.Commmun.，1994，107（5，6）：335～341

2 羅時榮，呂百達.平頂高斯光束在有光闌光學系統中的傳輸.中國激光，2002，29（5）：425～428

3 屈軍，丁培宏，孟凱，等.平頂高斯光束及其通過圓孔光闌的衍射.應用激光，2007，27（4）：318～321

4 朱莉華，聶義友，呂百達.截斷平頂高斯光束M2因子的比較研究.光子學報，2007，36（3）：536～538

5 羅時榮，呂百達.三維平頂高斯光束通過環形光闌的傳輸特性.激光技術，2000，24（4）：256～259

6 呂百達.激光光學（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.10～12

7 Juguan Gu，Daomu Zhao，Zhangrong Mei，et al.Propagation characteristics of linearly polarized Bessel-Gaussian beams through an annular apertured paraxial ABCD optical.Optik，2004，115（12）：529～532

8 Juguan Gu，Daomu Zhao.Propagation characteristics of Gaussian beams through a paraxial ABCD optical system with an annular aperture.Journal of Modern Optics，2005，52（8）：1 065～1 072

9 楊平，顧菊觀，張亞萍，等.厄米高斯光束通過圓孔衍射的兩種計算方法比較.物理與工程，2011，21（5）：20～23

10 姚啟鈞.光學教程（第四版）.北京：高等教育出版社，2008.76～77