運用微積分求解物理問題的方法

楊國平

（紹興市第一中學 浙江 紹興 312000）

高考對物理學科提出了5種能力要求，其中之一是“運用數學知識解決物理問題的能力”.在新課程改革的背景下，簡單的微積分已下放到高中數學課程中，這對物理學科的教學無疑是一大利好.

1 導數應物理而生

物理問題中經常會涉及到變化率，并在此基礎上建立相應的物理概念，例如，在研究瞬時速度、加速度、角速度等概念的過程中，呼喚著導數的產生.導數是用來解決變化率的有效工具，瞬時變化率就是導數，其幾何意義是切線的斜率，這在物理圖像中經常涉及到.在有關內容已下放到高中數學以后，教師應該引導學生用導數來描述物理問題，這對學生準確理解物理概念、規律是很有好處的.經常用到的結論有：常數C′＝0；冪函數（xn）′＝nxn－1；三角函數（sinx）′＝cosx；復合函數求導法則

2 物理因導數而嚴謹

普通物理知識大多采用微積分來描述，而高中物理常把它們降解為初等的數學手段，但有些知識是很難回避微積分的，高中階段往往一筆帶過，這些知識自然就成為學生理解上的瓶頸.其實，只需引用簡單的微積分常識（下面以三角函數sinθ為例），就可以圓滿地解決不少問題.

2.1 簡諧運動模型

質點的位移x隨時間t的變化規律滿足

則其速度的變化規律為

加速度

由此看到：做簡諧運動的質點的位移、速度、加速度都是按正弦式規律變化的.另外

得到周期公式

2.2 正弦交流電模型

線圈在勻強磁場中勻速轉動，在中性面時記作t＝0，穿過線圈的磁通量Φ＝BScosωt，則線圈中的電動勢

電流

若線圈有N匝，得到感應電動勢的最大值為

（1）有效值：基于電流的熱效應來定義.假設有一個定值電阻R，在交流的一個周期T內，產生的熱量

代入得

對照Q＝RT，得到

（2）LC振蕩電路：通過電感線圈的電流為

則線圈兩端的電壓

3 導數在物理題解中的應用

【例1】已知某質點的運動學方程為x＝2t2＋3t＋4（單位：m），試求第1s末質點的瞬時速度、加速度.

解析：根據速度的定義

把t＝1s代入得

加速度

可以證明，滿足位移方程x＝at2＋bt＋c的一定是勻變速直線運動，式中c為t＝0時刻質點相對于原點的初始位置，質點的初速度等于b，加速度等于2a.

【例2】在水平地面上方10m高處，以20m／s的初速度沿斜上方拋出一物體，不計空氣阻力，g取10 m／s2，求物體的最大射程［1］.

解析：以拋出點為原點，建立水平、豎直方向的坐標系xOy，如圖1，設v0與x軸的夾角為θ，飛行時間為t，有

圖1

聯立（1）、（2）式消去參數θ，得

代入數據得

當x取最大值時，（3）式右邊對t的一階導數等于零，即

解得

代入（3）式得

【例3】（2011年清華大學自主招生試題）如圖2（a）所示，水平高臺上有一小車，水平地面上有一拖車，兩車之間用一根不可伸長的繩跨過定滑輪相連.拖車從滑輪正下方以恒定速度沿直線運動，則在拖車行進的過程中，小車的加速度

A.逐漸減小 B.逐漸增大

C.先減小后增大 D.先增大后減小

圖2

解析：把拖車的速度分解為圖2（b）所示的兩個方向，小車的速度等于v1＝vcosθ，則加速度

因θ逐漸減小，選項A正確.

解后語：本題考查加速度牽連關系，處理方法比速度要復雜得多，時有被錯解（或歪打正著）的情況.一些基本函數（如三角函數sinθ、冪函數xn等）的微積分形式很常見，記住這些簡單結論就可以解決不少問題.

【例4】（2003年高考上海卷第22題）如圖3所示，OACO為置于水平面內的光滑閉合金屬導軌，O，C處分別接有短電阻絲（圖中用粗線表示），R1＝4Ω、R2＝8Ω，導軌其他部分電阻不計.導軌OAC的形狀滿足y＝2sin（x）（單位：m）.磁感應強度B＝0.2T的勻強磁場垂直于導軌平面.一足夠長的金屬棒在水平外力作用下，以恒定的速率v＝5.0 m／s水平向右在導軌上從O點滑動到C點，棒與導軌接觸良好且始終保持與OC導軌垂直，不計棒的電阻.求：滑動過程中通過金屬棒的電荷量有多少.

圖3

解析：根據電磁感應定律

代入后得到

由此可得

【例5】（第22屆全國中學生物理競賽預賽第9題）如圖4所示，水平放置的金屬細圓環半徑為a，豎直放置的金屬細圓柱（其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環的上表面在同一平面內，圓柱的細軸通過圓環的中心O.一質量為m，電阻為R的均勻導體細棒被圓環和細圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環作圓周運動，棒與圓環的摩擦因數為μ.圓環處于磁感應強度大小為B＝Kr、方向豎直向上的恒定磁場中，式中K為大于零的常量，r為場點到軸線的距離.金屬細圓柱與圓環用導線ed連接.不計棒與軸及與細圓柱端面的摩擦，也不計細圓柱、圓環及導線的電阻和感應電流產生的磁場.問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω勻速轉動？

圖4

分析：勻速轉動應符合力矩平衡條件：M外＝M安＋M摩，為求安培力矩，關鍵是求出OA棒上的電動勢.考慮一個周期T（OA棒轉動一周）內，磁通量的變化量ΔΦ＝BS，由于B是變化的，把它沿半徑方向分割成若干個帶狀圓環，再積分即可.

解答：設沿OA向外第i個微元段的半徑為r，該處帶狀圓環的電動勢

安培力矩

摩擦力矩

代入得

解得

解后語：在處理變量時，以前普遍采用微元法，其實質就是求導、積分的過程.涉及到兩個以上的變量時（比如例5中B隨著r變化，傳統的方法是采用微元分割，借助高階小量近似，寫成相鄰兩項的差值，累加得到結果），用微元法需要有較高的技巧，而運用導數這一工具理應是最有效的.對于求OA棒上的電動勢，本題還可采用以下解法：

第i個微元段的電動勢

可見，求OA棒上的電動勢，用積分方法會簡潔一些.

1 楊國平.物理解題中的遞推方法.物理通報，2012（5）：56～59