均值不等式與函數f(x)=x+a/x(a>0)

【摘要】均值不等式成立的條件不具備時，如何求解？本文提供了“對構函數”的解題方法.

【關鍵詞】均值不等式；均值不等式成立的條件；“對勾函數”的性質及解題方法

高中數學教學中均值不等式a+b2≥ab(a>0，b>0，當且僅當a=b時取“=”）有著重要的地位，在求相關的最大值、最小值問題中通常情況下有不可替代的作用.在應用中需要注意其必須滿足三個條件：一正二定三驗證.“一正”就是各項必須為正數.“二定”是指要求和的最小值時，構成和的兩項之積必須轉化為定值；要求積的最大值時，則必須把構成積的因式的和轉化為定值.“三驗證”是指在利用均值不等式求最值時必須驗證等號成立的條件是否具備.如果等號取不到，則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.下面舉例說明它的應用及“三驗證”不滿足時如何求最值.

例 ①已知x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

②已知x<54，求函數y=4x-2+14x-5的最大值.

③求y=sin2x+4sin2x的值域.

解 ①∵x>0，y>0，1x+9y=1，

∴x+y=(x+y)1x+9y

=yx+9xy+10≥6+10=16.

當且僅當yx=9xy時，上式等號成立.

又 1x+9y=1，∴x=4，y=12時，(x+y)min=16.

②∵x<54，∴5-4x>0，

y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3

≤-2(5-4x)#8226;15-4x+3=1.



當且僅當5-4x=15-4x，即x=1時，上式等號成立.

故當x=1時，ymax=1.

③f(x)=sin2x+4sin2x≥2sin2x#8226;4sin2x=2×2=4.

當且僅當sin2x=4sin2x，即sinx=±2時，上式等號成立.

而我們知道sinx≠±2，故上式等號取不到.

所以ymax≠4，那么如何求此函數的最值呢？

在此引進對勾函數，f(x)=x+ax(a>0)，它是奇函數，用定義法或者導數法很容易證明f(x)=x+ax(a>0)在其定義域上的單調性.下面用導數法予以證明.

證明 ∵f′(x)=1-ax2，

令f′(x)=1-ax2≥0，解得x≤-a或x≥a.

也就是說f(x)在(-∞，-a］和［a，+∞)是單調增加的，易得在［-a，0）及（0，a］單調遞減的.它的圖像如圖.

由圖可知x>0時，f(x)=x+ax≥f(a)=2a.

這與均值不等式是吻合的.

現在來研究③題：令t=sin2x，則t∈(0，1］，函數可化為f(t)=t+4t，t∈(0，1］，由于用均值不等式求最小值，“三驗證”不成立，由“對勾函數”可知f(t)=t+4t，在t∈(0，1］單調遞減.

∴f(t)=t+4t≥f(1)=1+41=5.

故f(x)=sin2x+4sin2x的值域為［5，+∞).

因此均值不等式是“對勾函數”的特殊情況，“對勾函數”是均值不等式的推廣和有力補充.這樣的題目還有許多，讀者在解題的過程中加以理解和應用.