函數極限的反問題的解法例探

【摘要】函數極限的反問題是一類常見題型，可按照正常計算極限的方法逐步推出題目所要求的內容.LHospital法則也是求函數極限的方法之一.本文從歸類著手，尋求解決此類問題的有效方法.

【關鍵詞】函數極限；反問題；解法

一、函數極限的反問題

如果已知函數的極限值，而函數表達式中含有待定的常數，要求把待定常數定出來.我們把這類問題叫作極限的反問題.這類問題的解法，主要涉及對極限概念的理解.解這類題目的一般常用方法是：按正常計算極限的方法計算帶有極限號的式子，然后根據這個式子等于的數，逐步推出題目所要求的內容.LHospital法則也是求函數極限的有效方法之一.如果函數式可轉化為“00”或“∞∞”型，那么可以借助于LHospital法則運算，但是在運算過程中切記要符合LHospital法則的條件.

二、函數極限的反問題的幾類解法

1極限式呈“00”型

例1 已知limx→1x2+ax+b1-x=5，試確定a，b的值.

解法1 函數極限存在且等于5，而極限式的分母的極限為0，應歸屬于“00”型，所以分子的極限也必須是0，即分子必能分解出(1-x)的因子.設x2+ax+b=(1-x)(m-x)，則limx→1x2+ax+b1-x=limx→1(1-x)(m-x)1-x=limx→1(m-x)=m-1=5，所以m=6，因此x2+ax+b=x2-7x+6，故求得a=-7，b=6.

解法2 極限式的分母的極限為0，應歸屬于“00”型，必有12+a#8226;1+b=0，借助于LHospital法則，limx→1x2+ax+b1-x=limx→12x+a-1=-(2+a)=5，所以a=-7，b=6.

2極限式呈“∞∞”型

例2 已知limx→∞ax2+bx+12x-1=-3，求常數a，b的值.

解法1 函數極限為-3，而極限式的分子、分母的極限都不存在，應歸屬于“∞∞”型，我們知道，當a≠0，b≠0時，有limx→∞anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0=0，(m>n)，anbn，(m=n)，∞，(m

所以a=0，b2=-3，即a=0，b=-6.

解法2 極限式的分子、分母的極限都不存在，應歸屬于“∞∞”型，借助于LHospital法則，limx→∞ax2+bx+12x-1=limx→∞2ax+b2=b2，a=0，∞，a≠0，已知函數極限存在且等于-3，所以a=0，b2=-3，即a=0，b=-6.

3極限式呈“∞-∞”型

例3 已知limx→+∞(2x-ax2-x+1)=14，求a的值.

解 由函數極限為14，可知函數極限存在.極限式中的前一項趨向于+∞，應歸屬于“∞-∞”型，所以當x→+∞時，應有ax2-x+1→+∞，由此得出a>0.

通過分子有理化，轉化為“∞∞”型，得

limx→+∞(2x-ax2-x+1)=limx→+∞(4-a)x2+x-12x+ax2-x+1.

要使上式極限存在，分子中x2的系數必須為0，也即4-a=0，故求得a=4.

例4 已知limx→2ax-2-12x3-8=12，試確定a的值.

解 因為函數極限存在且等于12，極限式中的前后項趨向于+∞，應歸屬于“∞-∞”型，應先通分，得limx→2ax-2-12x3-8=limx→2ax2+2ax+4a-12(x-2)(x2+2x+4)=12，轉化為“00”型，分子必能分解出(x-2)的因子，可知a#8226;22+2a#8226;2+4a-12=0，所以a=1.

三、分段函數極限的反問題的解法

這類反問題的解法往往要根據函數在一點連續的必要充分條件，從這點的左極限、右極限入手，只需左、右極限存在且相等，并等于這點處的函數值即可.

例5 確定常數k，使函數f(x)=2x3+e3，x<0，k，x=0，(1+x)3x，x>0，在點x=0處連續.

解 因為limx→0-f(x)=limx→0-(2x3+e3)=e3，limx→0+f(x)=limx→0+(1+x)3x=e3，而f(0)=k，故當k=e3時，函數f(x)在點x=0處連續.

函數極限的反問題的解法還有不少，由于篇幅所限，我就不再一一闡述舉例.總之，通過歸類，給學生提供了函數極限的反問題的解題思路，有助于學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，從而培養他們良好的遷移意識.

備注 本文章是受湖南省教育廳基金資助項目（課題編號：11C0298）支持、湖南第一師范學院基金資助項目（課題編號：XYS11J24）支持.

【參考文獻】

［1］湖南省教育廳組織編寫.數學（第五冊）［M］.長沙:湖南大學出版社，2010.

［2］高等數學（一）編寫組.高等數學（一）［M］.北京:中央廣播電視大學出版社，1997.

［3］羅增儒.數學解題學引論［M］.西安:陜西師范大學出版社，2008.