一道幾何習題的多種證法

【摘要】本文給出了初等幾何研究教材習題中的一道幾何證明題的四種證明方法，即旋轉變換法、勾股定理、三角法、斯蒂瓦特定理.

【關鍵詞】幾何證明；旋轉變換；三角法；勾股定理

有這樣一道幾何證明題：

圖 1

設D為等腰直角三角形ABC斜邊BC上任一點（如圖1），求證：BD2+CD2=2AD2.

通過分析，我們得到了該題的四種不同的證法.

1旋轉變換法

圖 2

分析 由于△ABC是等腰直角三角形，即兩直角邊AB，AC相等，則其中一條直角邊經過某個旋轉之后可以與另一條直角邊重合，為此，考慮把△ABD繞A點逆時針旋轉90°.

證明 把△ABD繞A點逆時針旋轉90°到△ACD′(如圖2)，連接DD′，則有

∠DAD′=90°，AD=AD′，BD=CD′，∠ABD=∠ACD′，

由已知∠ABD=∠ACD=45°，

∴∠ACD+∠ACD′=90°.

∴AD2+AD′2=DD′2，CD2+CD′2=DD′2.

即CD2+CD′2=AD2+AD′2，

∴BD2+CD2=2AD2，結論得證.

旋轉變換，可以改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小.對于圖形具有等邊特征的幾何題，可以考慮用旋轉變換遷移元素的位置.施行旋轉變換時要注意確定旋轉中心、旋轉角的大小和旋轉方向.

2利用勾股定理

圖 3

由于題目要證的結論是邊的平方的一個等式關系，易想到勾股定理.

簡要證明 若AD⊥BC，由已知△ABC是等腰直角三角形，易知結論成立.

若AD不垂直于BC，則

BD≠CD，不妨設BD

如圖3，作AE⊥BC，交BC于E點，則AE=BE=CE，

∴BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2-2BE#8226;DE+DE2+CE2+ 2CE#8226;DE+DE2

=2AE2+2DE2=2AD2.



命題得證.

3三角法

所謂三角法，就是將幾何命題中的邊、角等元素之間的關系，轉換成三角函數關系，然后應用三角恒等變形或解三角方程等知識來給出幾何證明的一種方法.

分析 要證的結論是邊的一個等式關系，且邊是二次方，在三角函數關系中我們可以想到余弦定理.

在△ABD中，AD2=AB2+BD2-2AB#8226;BDcos45°.

在△ACD中，AD2=AC2+CD2-2AC#8226;CDcos45°.

兩式相加，化簡右端，即可得到所證結論.

4斯蒂瓦特定理

斯蒂瓦特定理是關于三角形中邊的關系的一個定理，此題所要證明的也是邊的等式關系，可以從斯蒂瓦特定理出發，尋求所要證的等式關系.

證明 由斯蒂瓦特定理知，

AB2#8226;CD+AC2#8226;BD=AD2#8226;BC+BD#8226;CD#8226;BC，

且已知AB=AC，化簡上式，

得AB2(CD+BD)=AD2#8226;BC+BD#8226;CD#8226;BC，

即AB2#8226;BC=AD2#8226;BC+BD#8226;CD#8226;BC，

∴2AB2=2AD2+2BD#8226;CD.

由已知BC2=AB2+AC2=2AB2，

∴BC2=2AD2+2BD#8226;CD，

即(BD+CD)2=2AD2+2BD#8226;CD，

化簡得BD2+CD2=2AD2.

在幾何證明的教學中，教師應注意引導學生多角度考慮問題，尋求不同的證法，這不僅可以培養學生思維的開闊性，還可以鞏固學過的知識，以及靈活運用各種知識解決問題的能力.

【參考文獻】

趙振威，章士藻.中學數學教材教法第三分冊初等幾何研究(修訂版)［M］.上海:華東師范大學出版社，2009.