高中課后習題推廣與研究
2012-04-29 00:00:00邢艷潔
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】研究性學習是高中數學新課程的一個亮點，文章結合筆者自身教學實踐，針對課后習題提出學習案例，并給出相關結論.
【關鍵詞】高中數學；研究性學習；探索
研究性學習作為必修內容是普通高中新課程的一個亮點，備受各方關注.然而，就目前高中數學教學的現狀而言，研究性學習無疑是廣大學生和教師面臨的現實挑戰，是一個內容資源亟待充實、教學方法亟待提高的弱項.本文結合自身教學實踐，針對課后習題提出學習案例，期望能給讀者一些參考.
人教B版新課標高中數學必修2教材第107頁例2：“求過圓x2+y2=R2上一點M(x0，y0)的切線方程.”是一道具有簡潔、統一的結論和很強的推廣性的問題.
問題：已知A(x0，y0)，當點A在圓x2+y2=R2上，方程x0x+y0y=R2表示以A(x0，y0)為切點的切線方程.
（1）分析點A在圓x2+y2=R2內或點A在圓x2+y2=R2外時，直線x0x+y0y=R2與圓x2+y2=R2的位置關系.
（2）如果將上述問題放在橢圓等情境中，類比研究又會得到什么結論？
相關結論
結論1
點A(x0，y0)在圓x2+y2=R2上，以A(x0，y0)為切點的切線方程為x0x+y0y=R2.
點A(x0，y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，以A(x0，y0)為切點的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.
點A(x0，y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上，以A(x0，y0)為切點的切線方程為x0xa2-y0yb2=1.
點A(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)上，以A(x0，y0)為切點的切線方程為y0y=p(x+x0).
點A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2上，以A((x0，y0，z0)為切點、與球x2+y2+z2=R2相切的平面的方程為x0x+y0y+z0z=R2.
結論2
點A(x0，y0)在圓x2+y2=R2外，過A(x0，y0)作圓x2+y2=R2的切線，切點為M，N，則切點弦MN所在的直線方程為x0x+y0y=R2.
點A(x0，y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)外，過A(x0，y0)作橢圓x2a2+y2b2=1的切線，切點為M，N，則切點弦MN所在的直線方程為x0xa2+y0yb2=1.
點A(x0，y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)外（當x20a2-y20b2<1時，稱A(x0，y0)在x20a2-y20b2=1外），過A(x0，y0)作雙曲線x2a2-y2b2=1的切線，切點為M，N，則切點弦MN所在的直線方程為x0xa2-y0yb2=1.
點A(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)外（當y20>2px0(p>0)時，稱A(x0，y0)在y2=2px外），過A(x0，y0)作拋物線y2=2px(p>0)的切線，切點為M，N，則切點弦MN所在的直線方程為y0y=p(x+x0).
點A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2外，過A(x0，y0，z0)作球x2+y2+z2=R2的切線，切點所在的平面方程為x0x+y0y+z0z=R2.
結論3
點A(x0，y0)在圓x2+y2=R2內，則方程x0x+y0y=R2表示與圓x2+y2=R2相離的直線方程.
點A(x0，y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)內，則方程x0xa2+y0yb2=1表示與橢圓x2a2+y2b2=1相離的直線方程.
點A(x0，y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)內（當x20a2-y20b2>1(|x0|>a)時，稱A(x0，y0)在x20a2-y20b2=1內），則方程x0xa2-y0yb2=1表示與雙曲線x2a2-y2b2=1相離的直線方程.
點A(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)內（當y20<2px0(p>0)時，稱A(x0，y0)在y2=2px內），則方程y0y=p(x+x0)表示與拋物線y2=2px(p>0)相離的直線方程.
點A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2內，則方程x0x+y0y+z0z=R2表示與球x2+y2+z2=R2相離的平面方程.
結合結論2和結論3，圓錐曲線外特殊點很容易想到準線上的點，曲線內的點容易聯想到直線與曲線相交線段的中點.
【參考文獻】
［1］袁振國.教育新理念［M］.北京:教育科學出版社，2007.
［2］林國夫.圓錐曲線中切點弦及其方程［J］.數學通訊，2011，1-2（上半月）.
