區間估計的教法研究

【摘要】區間估計是學生數理統計學習過程中的重點和難點.文章針對區間估計概念的理解及區間估計的方法給出了自己的教學見解；對樞軸量法進行區間估計時遇到的難點問題給出了一種新的教學方法——“面積法”，在多個置信區間的選擇上給出了具體的數據比較.實踐證明，這種教學方法取得了很好的教學效果.

【關鍵詞】概率論與數理統計；區間估計；樞軸量；面積法

【基金項目】鄭州輕工業學院2010年青年教改項目.

參數估計是統計推斷的基本問題之一.它是在總體的分布類型已知時，利用觀測數據對總體中的未知參數（或未知參數的函數）進行估計.區間估計是參數估計的一種重要方法，掌握區間估計的基本思想和方法對后續課程的學習非常重要.同時，區間估計也是學生學習概率統計這門課程中的一個難點.本人在區間估計的教學過程中采用了以下三步教學法，取得了良好的教學效果.

一、區間估計概念的背景不可忽視

概念提出的背景講清楚非常重要，這樣可以使學生不僅知其然而且知其所以然，從而增加其學習興趣；從另一個角度來講，大學生學習概率統計，不僅僅接受的是概念、方法，更重要的，接受的是一種思想.在這里講解時要著重強調區間估計的兩個基本要求——精度和可信度，且當兩者無法同時滿足時，采用的一般原則:先保證可信度，在保證可信度的前提下盡量提高估計的精度.這樣，為后面區間估計概念的講解做好準備.

二、將講解的重心放在“區間估計”概念的正確理解上

在講解概念時，要使學生明白區間估計的關鍵是構造兩個統計量θ^1(X1，X2，…，Xn)，θ^2(X1，X2，…，Xn)，使得區間(θ^1，θ^2)包含真值θ的概率1-α，且(θ^1，θ^2)就是θ的區間估計，1-α就是可靠性；不僅如此，還要提醒學生：1-α是事先給定的，也就是說這個概念充分體現了“先保證可靠性”這一原則，或者說，這個概念是在“優先保證可靠性”的前提下給出的.除了概念本身的講解，還要讓學生從不同的角度來理解，比如，可以從頻率的角度來理解定義式P{θ^1<θ<θ^2}=1-α.使學生明白：抽取一個樣本，用相應的置信區間(θ^1，θ^2)來估計真值，這樣做犯錯誤的概率為α.

三、詳細講解利用樞軸量法進行區間估計

這里以正態總體均值μ的區間估計為例介紹.利用樞軸量法進行區間估計，重點是對給定的置信水平1-α，尋找常數a，b(a

詳細講解尋找a，b的技巧，稱之為“面積法”.即根據連續型隨機變量落在區間(a，b)上的概率就是(a，b)上所對應的曲邊梯形的面積.尋找a，b的方法是：在樞軸量Z=X-μσn（服從標準正態分布）的密度函數曲線下方找到一面積為1-α的曲邊梯形（梯形的底在x軸上），則此曲邊梯形的底在x軸上的兩個頂點就對應常數a，b.顯然，這樣的曲邊梯形一定存在，而且有無限多個，不妨取關于y軸對稱的曲邊梯形，則可得a=-zα2，b=zα2（如圖）.由此可得μ的一個置信區間為X±σnzα2.

隨著曲邊梯形在x軸上取得的位置不同，可得到不同的a，b值，相應地得到不同的置信水平為1-α的置信區間，如

X-σnz3α4，X+σnzα4，X-σnz5α6，X+σnzα6，…

需要強調的是在諸多的μ的置信水平為1-α的置信區間中，選擇X±σnzα2的理由是：X±σnzα2和其他置信區間相比有較高的精度.列表比較如下：

由表可以看出X±σnzα2的精度最高.

值得強調的是，這里用“面積法”來尋找a，b，可使得學生非常直觀地看到尋找a，b的不唯一；通過不同置信區間的精度比較，使得學生更深刻理解區間估計的內涵.

上面三個過程的講解，是理解區間估計概念和接受區間估計方法的關鍵.后面無論是單側置信區間還是兩個正態總體參數的區間估計，思想方法是相同的.上面三個過程的講解對學生接受和應用區間估計這個統計方法非常重要.好的教學方法不僅可以使得學生輕松接受，還可使學生觸類旁通.“區間估計”這一被學生認為抽象難懂的估計方法不再抽象和難于接受了.

【參考文獻】

［1］徐雅靜，王遠征，等.概率論與數理統計.北京：科學出版社，2009:162-179.

［2］峁詩松，程依明，等.概率論與數理統計教程.北京：高等教育出版社，2004:315-327.