淺談高等數學中不等式的證明
2012-04-29 00:00:00張潔
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】人們對高等數學的印象通常是復雜的公式和繁雜的計算，事實上通過用心的總結和歸納，高等數學中的許多知識點是有規律可循的.本文就以多年教學經驗為依據，通過一些實例，對高等數學中不等式的證明方法進行了探討，希望能給讀者以啟迪.
【關鍵詞】高等數學；不等式；證明方法
不等式在高等數學中占有重要地位，也是解題的一種重要思想方法.無論是在大學高等數學課程考核中，還是在研究生入學考試中，不等式的證明都是極其重要的一類考題.不等式的證明方法多種多樣，本文通過實例探討了一些運用高等數學證明不等式的方法，以供大家參考.
一、利用數學歸納法證明不等式
若不等式中含有“變量為自然數”的條件，可以嘗試用數學歸納法.
例1 證明不等式n!
證明 當n=2時，因為2+122=94>2=2!，
故不等式成立.
設n=k時，不等式成立，即k! 則對于n=k+1時，有 (k+1)! 由于k+2k+1k+1=1+1k+1k+1>2(k=1，2，…由貝努力不等式)，從而有 (k+1)! 故原式獲證. 二、利用取對數法證明不等式 若不等式中含有冪指函數，可以考慮用取對數法. 例2 證明不等式nen 證明 由i(n-i)≤n2(i=1，2，…，n-1)，不等式的兩邊取對數，得 12lni(n-i)≤lnn2，∑n-1i=112lni(n-i)≤∑n-1i=1lnn2，即 12ln［1#8226;(n-1)］#8226;［2#8226;(n-2)］#8226;…#8226;［(n-2)#8226;2］#8226;［(n-1)#8226;1］≤(n-1)lnn2. 所以ln(n-1)!≤lnn2n-1，(n-1)！≤n2n-1，12n!≤n2n. 于是n!≤2n2n 下面證明nen 設xn=nen，則有 xnxn-1=nn(n-1)n-1e=1+1n-1n-1#8226;ne 所以（注意到x1=1e<1）xn=x1#8226;x2x1#8226;…#8226;xnxn-1 三、利用無窮小的性質證明不等式 若x→+∞時，f(x)g(x)為無窮小，即limx→+∞f(x)g(x)=0，且g(x)>0(x>M1>0)，則存在M2>0，當x>M2時，有f(x)g(x)<1，從而f(x) 例3 試證：當x充分大時，x10ex 證明 因為當x→+∞時，x10exe2x=x10ex→0， 所以，當x充分大時，有x10exe2x<1，即x10ex 四、利用拉格朗日中值定理證明不等式 若f(x)在［a，b］上連續、在（a，b）內可導，則f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a(ξ∈(a，b)).利用ξ與a，b的關系，對ξ進行合理縮放即可得不等式. 例4 若0 證明 顯然等式當且僅當a=b>0時成立. 下面證0 作輔助函數f(x)=lnx，則f(x)在［a，b］上滿足拉格朗日中值定理，即存在ξ∈(a，b)使lnb-lnab-a=1ξ成立. 由于0 由上述兩式可得1b 所以b-ab 五、利用泰勒定理證明不等式 泰勒定理的適用范圍是不等式中含有的函數易求出它的泰勒展開式（或麥克勞林展開式），從而利用它的局部展開式證明不等式. 例5 證明：ln(1+x)≤x-x22+x33(-1 證明 令f(x)=ln(1+x)，則 f(0)=0，f′(0)=1，f″(0)=-1，f(0)=2， f(4)(ξ)=-3!(1+ξ)4. 于是f(x)在x=0處的三階泰勒展開式為： ln(1+x)=x-x22+x33-x44(1+ξ)4(-1 由于x44(1+ξ)4≥0， 所以ln(1+x)≤x-x22+x33(-1 六、利用函數的凹凸性證明不等式 通過函數在某區間上的二階導數的正負來判定在該區間上的凹凸性，從而證明一些不等式，特別是含兩個或兩個以上變元的. 例6 證明：x+y2n 證明 設f(t)=tn，t>0，則 f′(t)=ntn-1，f″(t)=n(n-1)tn-2. 當n>1，t>0時，有f″(t)>0，所以f(t)在(0，+∞)內是凹函數. 根據凹凸性的定義，x，y∈(0，+∞)，x≠y， 有fx+y2 七、利用變上限積分證明不等式 在不等式的兩端取變上限積分，可以得到新的不等式. 例7 設f(x)在(0，+∞)上具有連續的可微函數，且f(0)=1.當x≥0時，f(x)>|f′(x)|.試證：ex>f(x)，(x>0). 證明 由已知可得-f(x) 兩邊從0到x積分，得∫x0f′(t)f(t)dt<∫x0dt，其中x>0. 注意到f(0)=1，從而得到lnf(x) 不等式的證明因題而異，靈活多變.只有在多思考、多總結的基礎上，才能迅速把握問題的本質，靈活運用各種證明技巧，提高解題水平. 【參考文獻】 ［1］邵瑞珍，皮連生.教育心理學［M］.上海：上海教育出版社，1988. ［2］李士琦.PME：數學教育心理［M］.北京：高等教育出版社. ［3］毛京中.高等數學概念教學的一些思考［J］.數學教育學報，2003，12(2). ［4］陳瓊，翁凱慶.試論數學學習中的理解學習［J］.數學教育學報，2003，12(1). ［5］張定強.剖析高等數學結構，提高學生數學素質［J］.數學教育學報，1996，5(1). ［6］劉繼合.簡析高等數學結構與化歸［J］.聊城師范學院學報(自然科學版)，1999，12(3).
