垂徑定理在圓錐曲線中的推廣

大家都非常熟悉圓，也知道它的一個(gè)重要定理——垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.就弦和直徑，轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，可變?yōu)椋喝绻鼈兯谥本€斜率都存在，那么可以得到它們的斜率之積為常數(shù)-1.這個(gè)結(jié)論在其他類似的曲線中是否也類似存在呢？若存在，則常數(shù)是-1還是其他數(shù)，與曲線方程中的系數(shù)有沒有關(guān)系？

例 已知P是橢圓x24+y23=1上不同于左頂點(diǎn)A、右頂點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求k1k2的值.

解 設(shè)P（x0，y0），又因?yàn)锳(-2，0)，B(2，0)，

則k1=y0x0+2，k2=y0x0-2，

所以k1k2=y0x0-2×y0x0-2=y20x20-4=31-x204x20-4=-34，與原方程的未知數(shù)系數(shù)有關(guān).

現(xiàn)在我們把直線AB改變過原點(diǎn)的其他直線（如圖）:若PA，PB的斜率存在且不為0，設(shè)M(xM，yM)是PA的中點(diǎn)，P（x0，y0），A(x1，y1)，B(x2，y2).則由中位線可知OM∥PB，故k2=kOM=yMxM，M是PA中點(diǎn)，所以，xM=x0+x12，yM=y0+y12，

則可得k2=kOM=y0+y1x0+x1.

又 k1=y0-y1x0-x1，所以k1k2=y0-y1x0-x1#8226;y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21.

又 因?yàn)锳，P是橢圓上的點(diǎn)，故有x204+y203=1，x214+y213，

所以k1k2=-34，與原題相同，是個(gè)定值，與原方程的系數(shù)有關(guān).

我們發(fā)現(xiàn)滿足上述條件下，斜率之積是一個(gè)常數(shù)，但不是-1，與原方程的系數(shù)有關(guān)系，那究竟有什么關(guān)系呢？下面我們一起來探討一下.我們先來看橢圓：

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，不垂直坐標(biāo)軸直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，M(x0，y0).由題意可知AB，OM的斜率都存在且不為零，則可得kAB=y2-y1x2-x1，kOM=y0x0，則由于A，B是橢圓上的點(diǎn)，代入橢圓方程得到x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.由點(diǎn)差法可以求得y1-y2x1-x2#8226;y1+y2x1+x2=-b2a2，即y1-y2x1-x2#8226;y0x0=-b2a2，∴kAB#8226;kOM=-b2a2=-1a21b2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

同理，如果橢圓方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0)，其他條件不變，同樣我們可以得到y(tǒng)21a2+x21b2=1，y22a2+x22b2=1.

由點(diǎn)差法得y1-y2x1-x2#8226;y1+y2x1+x2=-a2b2，即y1-y2x1-x2#8226;y0x0=-a2b2，

所以kAB#8226;kOM=-a2b2=-1b21a2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

我們再來看看雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，直線AB不垂直坐標(biāo)軸，且交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，M(x0，y0).由題意可知AB，OM的斜率都存在，且kAB=y2-y1x2-x1，kOM=y0x0，則由于A，B是雙曲線上的點(diǎn)，代入得到x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1.

由點(diǎn)差法可求得y1-y2x1-x2#8226;y1+y2x1+x2=b2a2，即y1-y2x1-x2#8226;y0x0=b2a2，

故kAB#8226;kOM=b2a2=-1a2-1b2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

同理可得：當(dāng)雙曲線方程為y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)時(shí)，kAB#8226;kOM=a2b2=--1b21a2=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

如果曲線為圓x2+y2=r2(r>0)，我們已知斜率之積為-1，而-1=-x2的系數(shù)y2的系數(shù).

歸納上述各類曲線，可以發(fā)現(xiàn)它們有以下共同特征：原點(diǎn)為對稱中心，坐標(biāo)軸為對稱軸，我們可以給統(tǒng)一表達(dá)式：mx2+ny2=1(m>0，n>0或mn<0).

我們現(xiàn)在用語言對圓的垂徑定理來進(jìn)行推廣：

結(jié)論1 對于曲線mx2+ny2=1(m>0，n>0或mn<0)，不垂直于坐標(biāo)軸的直線與曲線相交，那么這條弦的中點(diǎn)與圓心所確定的直線的斜率與原直線的斜率之積等于x2的系數(shù)與y2的系數(shù)之比的相反數(shù).

結(jié)論2 對于曲線mx2+ny2=1(m>0，n>0或mn<0)，過原點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，則過曲線上任意不同于該兩點(diǎn)的點(diǎn)與這兩點(diǎn)作直線，若斜率存在，那么斜率之積也等于x2的系數(shù)與y2的系數(shù)之比的相反數(shù).